Topologie initiale, finale, limite inductive

Publié le 24 septembre 2016

1 – Topologie initiale

$Topologie initiale et finale, topologie limite inductive Topologie initiale <definition/>Soient X un ensemble non vide et (X_{i})_{i∈I} une famille d'espaces topologiques, et f_{i}:X→X_{i} une famille d'applications. La topologie initiale de (X,(f_{i})_{i∈I}) est la moin fine rendant continue les applications f_{i}. <example/>Si X=Π_{i∈I}X_{i} alors la topologie produit sur X n'est autre que la topologie initiale associée à la famille des projections p_{i}:X→X_{i}. <example/>Soient X un ensemble et Y un espace topologique et Y^{X} l'ensemble des applications de X dans Y. Pour tout x∈X notons ev_{x} l'application d'évaluation ev_{x}:Y^{X}→Y f↦ev_{x}(f)=f(x). Alors la topologie de la convergence simple sur Y^{X} n'est autre que la topologie initiale associé à (Y^{X},(ev_{x})_{x∈X}) <proposition/>La topologie initiale de (X,(f_{i})_{i∈I}) est la topologie engendrée par les ensembles {f_{i}⁻¹(O_{i}),i∈I,O_{i} ouvert de X_{i}} <proposition/>Soit Y un espace topologique et τ la topologie initiale assoiée à la famille (X,(f_{i})_{i∈I}). Une application f:Y→(X,τ) est continue si et seulement si f_{i}∘f est continue pour tout i∈I.$

2-topologie-initiale-associee-a-une-famille-dapplications

2 – Topologie Finale

$Topologie finale <definition/>Soient X un ensemble non vide et (Y_{i})_{i∈I} une famille d'espaces topologiques, et f_{i}:Y_{i}→X une famille d'applications. La topologie finale de (X,(f_{i})_{i∈I}) est la plus fine sur X rendant continue les applications f_{i}:Y_{i}→X. <proposition/>Sous les mêmes hypothèses que la définition précédente, la topologie finale de (X,(f_{i})_{i∈I}) est constituée des parties O⊂X pour les quelles f_{i}⁻¹(O) soit un ouvert de Y_{i} pour tout i∈I. <example/>Soit X un espace topologique et ∼ une relation d'équivalence sur X alors la topologie quotient définie sur X/∼ n'est autre que la topologie finale associée à la surjection canonique π:X→X/∼ <example/>Soit (E_{i})_{i∈I} une famille d'espaces topologiques, on definit alors une nouvelle topologie sur l'union disjointe ⊔E_{i} dont les ouverts sont les réuinions disjointes ⊔O_{i} ( les O_{i} sont des ouverts de E_{i}). L'espace topologique ainsi obtenu est appellé somme topologique des E_{i}. La topologie somme définie sur ⊔E_{i} n'est autre que la topologie finale associée aux injections canoniques E_{i}→⊔E_{i} x↦(x,i).$

Post Views: 1 064

Publié dans Rappel de topologie

Python Très Facile

Tutoriels Python du débutants aux experts

Dépot Copyright

Rechercher

Cours Python

Cours Java

Développement Web

Base de données

Math Pour Informatique

Génie Logiciel

TICE & Multimédias

Utilisateurs en ligne

Annonces Google

Commentaires récents

Python & Javascript pour les nuls !