Fibré et fibration

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1 - Fibration

Fibration Dans tout ce paragraphe les applications sont consdérée comme étant des applications continues entre espaces topologiques Dé…nition 23 On dit qu’une application p : E ! X possède la propriété right lifting property ( RLP ) par rapport à une application : i : A ! B si pour toute application f : A ! E et pour toute application g : B ! X véri…ant p  f = g  i il existe une application h : B ! E telle que p  h = g et h  i = f Dé…nition 24 En remplaçant l’application i : A ! B dans la dé…nition pré- cédente par : 1) une application de la forme i : A  f0g ! A  I on dit que p : E ! X est une …bration d’Hurewicz 2) une application de la forme i : In f0g ! In I on dit que p : E ! X est une fbration de Serre

2 - Notion de fibré

Fibré Dé…nition 25 Soit X un espace topologique, un …bré sur X est la donnée d’une application continue p : Y ! X telle que pour tout x 2 X il existe un ouvert U de X contenant x et un espace topologique F et un homéomorphisme ' : p1(U) ! U F telle pU  ' = p où pU : U F ! U est la projection usuelle sur U: Ce qui peut être représenté par le diagramme commutatif suivant : X est appelé la base du …bré, Y l’espace total du …bré, p : Y ! X la projection, U un overt trivialisant et ' : p1(U) ! U  F une trivialisation locale. Pou tout x 2 X p1fxg est appelé la …bre de Y au dessus de X: Toute application s : X ! Y véri…ant p  s = IdX est appelé une section du …bré ( une telle section est toujour injective ). Dé…nition 26 Un …bré est dit trivial si X est un ouvert trivialsant. Autrement dit s’il existe un homéomorphisme ' : Y ! X  F véri…ant : pX  ' = p: Remarque 27 Si x et y sont deux éléments d’un même ouvert trivialisant U alors les …bres p1fxg et p1fyg sont homéomorphes. Notation 28 Un …bré p : Y ! X sera noté par (Y; p;X)

3 - Morphismes de fibrés

Morphisme de brés Défnition 29 Soient p1 : Y1 ! X et p2 : Y2 ! X deux …brés. Un mor- phisme entre ces deux fbrés, est une application continue f : Y1 ! Y2 telle que p2  f = p1 telque le diagramme suivant commute :

4- Somme de Whitney de deux fibrés

Somme de Whitney de deux fibrés Soient (Y₁,p₁,X) et (Y₂,p₂,X) deux fibrés, on définit un nouveau fibré en posant : (Y₁,p₁,X) ⊕(Y₂,p₂,X)=(Y₁⊕Y₂,p,X) avec Y₁⊕Y₂={(y₁,y₂)∈Y₁×Y₂/p(y₁,y₂):=p₁(y₁)=p₂(y₂)}. <definition/>Le fibré (Y₁,p₁,X) ⊕(Y₂,p₂,X)=(Y₁⊕Y₂,p,X) est appelé somme de Whitney des deux fibrés (Y₁,p₁,X) et (Y₂,p₂,X) <remark/>La somme de Whitney définit un foncteur sur l'ensemble des fibrés ( Bun(X)) de base X: ⊕:Bun(X)×Bun(X)→Bun(X)

 

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