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Revêtement

Publié le 7 septembre 2016

1 – Revêtement et relèvement

Revêtement <definition/>Un revêtement est un fibré à fibre discrète. Autrement dit une application p:E→B est un revêtement si pour tout b∈B il existe un voisinage ouvert U de b et un espace discret F_{b} et un homéomorphisme Φ:U×F_{b}→p⁻¹(U) tel que le diagramme suivant soit commutatif : [revetement.png] E est appelé l'espace total du revêtement, B la base du revêtement, F_{b}≃p⁻¹{b} est appelé la fibre au dessus de b, les ouverts U sont appelé des ouverts trivialisant. <example/>L'application p:ℝ→S¹ t↦e^{2iπt} est un revêtement appelé revêtement du cercle <definition/>Soit p:E→B est un revêtement et soit f:X→B une application continue, on appelle relèvement de f toute application continue f:X→E telle que : p∘f=f

Soit p:E→B est un revêtement et soit f:X→B une application continue, on appelle relèvement de f toute application continue f:X→E telle que : p∘f=f [relevement3.png] Unicité des relèvements15-unicite des relèvements

2 – Relèvement des chemins et des homotopies

                   Relèvement des chemins

Relèvement des chemins Proposition 36 Soit p : E ! B est un revêtement, [a; b] ! B un chemin continue sur B: Pour tout point e 2 p1f (a)g; il existe un unique relèvement de tel que (a) = e: Relèvement des homotopies Dé…nition 37 Soit p : E ! B est un revêtement, et H : X  I ! B une application continue, et soit f : X  f0g ! E un relèvement de l’application f := H=X  f0g, alors il existe un unique relèvement H : X  I ! E de H

3 – Application, groupe fondamental

Application : groupe fondamental du cercle <definition/>Soit γ:I→S¹ un relèvement d'un lacet γ:I→S¹ par rapport au revêtement exp:ℝ→S¹ t↦e^{2iπt}, alors le nombre entier i γ(1)-γ(0) indépendant du relèvement γ est appelé degré du lacet γ, noté deg(γ) <theorem/>Le degré induit un isomorphisme de groupe : deg:π(S¹,x)→ℤ [γ]↦deg(γ)

 

 

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Publié dans Géométrie différentielle

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