Fibrés Vectoriels

adminGéométrie différentielleLeave a comment

1 - Notion de fibré vectoriel

Fibré vectoriel Un fibré vectoriel est un fibré pour lequel chaque fibre possède une structure d'espace vectoriel. <definition/>Un fibré vectoriel de rang k est la donnée d'une application continue π:E→B (E et B deux variétés différentiables ) telle que : 1) pour tout b∈B π⁻¹{b} possède une structure de ℝ- espace vectoriel de dimension k. 2) pour tout b∈B il existe un voisinage ouvert U de b et un difféomorphisme φ:π⁻¹(U)→U×ℝ^{k} tel que le diagramme suivant soit commutatif [vectorbundle.png] 3) pour tout b∈B l'application ψ_{b}=φ⁻¹(b,.):ℝ^{k}→π⁻¹{b} v↦φ⁻¹(b,.v) est un isomorphisme de ℝ-espace vectoriel.

 

2 - Fonctions de transitions aux fibrés

Pour tout fibré vectoriel π:E→B de rang k on a : 1) il existe un recouvrement ouvert (U_{i})_{i} et une famille de difféomorphismes φ_{i}:π⁻¹(U_{i})→U_{i}×ℝ^{k} telle que p_{r1}∘φ_{i}=π où p_{r1}:U_{i}×ℝ^{k}→U_{i} est la première projection 2) les fonctions de transitions ψ_{ij}=φ_{j}∘φ_{i}⁻¹:U_{i}∩U_{j}×ℝ^{k}→U_{i}∩U_{j}×ℝ^{k} sont de la forme (x,v)↦(x , g_{ij}(x)v ) avec g_{ij}: U_{i}∩U_{j}→GL_{k}(ℝ) appelées fonctions de transitions et les coefficients de g_{ij}(x) sont des difféomorphismes en x. 3) Les g_{ij} vérifient les relations g_{ii}=Id_{U_{i}∩U_{j}} , g_{ij}g_{ji}=g_{ii} <remark/>Tous ce qui a été dit pour les fibrés : morphismes de fibrés, somme de Whitney... est valable pour les fibrés vectoriels

3 - Tutoriel vidéo

 

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