Espace tangent, fibré tangent

Publié le 11 septembre 2016

1 - Espace tangent

$Espace tangent Soit M une variété différentiable de dim=n et de classe C¹, pour tout point m∈M considérons l'ensemble C(M,m) formé des courbes de classe C^{p} c:I→M (I intervalle ouvert de centre 0) telles que : c(0)=m. <definition/>On dit que deux courbes c₁ et c₂ de C(M,m) sont tangente en m s'il existe une carte (U,ϕ) en m telles que : (ϕ∘c₁)′(0)=(ϕ∘c₂)′(0)$

$La relation c₁ et c₂ sont tangentes en m est une relation d'équivalence sur C(M,m). <definition/>Une classe d'équivalence selon la relation d'équivalence définie ci-dessus est appelé un vecteur tangent à M au point m. L'espace quotient associé à cette relation est appelé l'espace tangent à la variété M au point m, noté T_{m}M. <remark/>L'application θ_{ϕ}:T_{m}M→ℝⁿ c↦θ_{ϕ}(c)=(ϕ∘c)′(0) est bijective, ce qui permet de définir une structure d'espace vectoriel sur T_{m}M en posant pour tous c₁, c₂, c ∈T_{m}M et pour tous λ∈ℝ: c₁+c₂=θ_{ϕ}⁻¹[(θ_{ϕ}c₁)+θ_{ϕ}(c₂)] et λc=θ_{ϕ}⁻¹(λθ_{ϕ}(c)) <remark/>1- L'espace tangent T_{m}M ne change pas si on remplace l'atlas initiale par un autre atlas équivalent. 2- Si U est ouvert de M contenant m alors T_{m}U=T_{m}M. 3- T_{(m,n)}(M×N)=T_{m}M⊕T_{n}N$

2 - Fibré tangent

$Fibré tangent <definition/>L'union disjointe ⊔T_{m}M= {(m,u)/m∈M et u∈T_{m}M} des espaces tangents est appelé le fibré tangent Soient maintenant M et N deux variétés différentiable de dimension m et n avec des atlas (U_{i}ϕ_{i})_{i∈I} et (U_{j}′ϕ_{j}′)_{j∈J} et soit f:M→N une application de classe C¹(ie pour tout x∈M et pour tout U_{i} contenant x et U_{j}′ contenant f(x) l'application ϕ_{j}′∘f∘ϕ_{i}⁻¹ est de classe C¹) <proposition-def/>l'application C(M,m)→C(N,f(m)) c↦f∘c passe au quotient en une application T_{m}f:T_{m}M→T_{f(m)}N nommée différentielle de f au point m ( ou application linéaire tangente de f au point m). Si deplus (U,ϕ) est une carte en m et (V,ψ) est une carte en f(m) alors pour tout u∈T_{m} on a : T_{m}f(u)=θ_{ψ}⁻¹∘d_{ϕ(m)}(ψ∘f∘ϕ⁻¹)∘θ_{ϕ}(u):=d_{m}f(u) En plus le diagramme suivant est commutatif :$

3- Différentielle d'une application

$La différentielle de f est l'application df:TM→TN définie par : df_{x}(X) = ψ_{j}^{′-1}∘d(ϕ_{j}′∘f∘ϕ_{i}⁻¹)_{ϕ_{i}(x)}∘ψ_{i}⁻¹(X) pour tout x ∈ M et X∈T_{x}M, U_{i} contenant x et U_{j}′ contenant f(x) - En particulier si f est à valeurs réelle on a df_{x}(X)=d(f∘ϕ_{i}⁻¹)_{ϕ_{i}(x)}∘ψ_{i}⁻¹(X) - En particulier si f est à variables réelles on a : df_{x}(X)=ψ_{j}^{′-1}∘d(ϕ_{j}′∘f)_{x}(X)$

4 - Fibré vectoriel tangent

$Etant donné une carte ϕ:U→V⊂ℝⁿ le fibré tangeant à U est le sous ensemble T(U)={(a,u)/a∈U et u∈T_{a}M}⊂T(M) et on a une bijection : <K1.1/> <K1.1 ilk="MATRIX" > T(ϕ): T(U)→T(V)=V×ℝⁿ (a,c)↦(ϕ(a),(ϕ∘c)′(0) </K1.1> <conclusion/>La projection canonique p:T(M)→M définie par p(a,u)=p pour (a,u)∈TM ( ie a∈M et u∈T_{a}M ) est un fibré vectoriel de rang n. <proof/>Soit a∈M il exite alors une carte (U,ϕ) en a d'après la remarque précédente φ=(ϕ⁻¹×Id_{ℝⁿ})∘T(ϕ):p⁻¹(U)=T(U)→U×ℝⁿ est un homéomorphisme.$

Post Views: 1 439

Publié dans Géométrie différentielle

Cours Python Très Facile

Tutoriels Python du débutants aux experts

Dépot Copyright

Rechercher

Cours Python

Cours Java

Développement Web

Base de données

Math Pour Informatique

Génie Logiciel

TICE & Multimédias

Utilisateurs en ligne

Annonces Google

Commentaires récents

Python & Javascript pour les nuls !