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1 – Notion d’application différentiable

Dans toute la suite M et N sont deux variétés di¤érentiable de dimension m et n respectivement. Dé…nition 13 On dit qu’une application f : M ! N est di¤érentiable en un point x0 ; s’il existe une carte (U; ') de M contenant x0 et une carte (V;  ) de N contenant f(x0) telles que l’application lue sur les cartes : f'  =    f  '1 : '(U)  Rn !  (V )  Rm est di¤érentiable au point '(x0): On dit que f est di¤érentiable sur M; si elle l’est en tout point de M: On dit que f est un di¤éomorphisme si f est bijective et f et f1 sont di¤érentiable sur M: Propriétés 14 1) Toute application di¤érentiable est continue. 2) La composée de deux applications di¤érentiables est di¤érentiable.

2 – Difféomorphisme, rang d’une application différentiable

Di¤éomorphisme, rang d’une application dif- férentiable. Dé…nition 15 Une application di¤érentiable f : M ! N est un di¤éomor- phisme si f est bijective et f et f1 sont di¤érentiables. Donc necessairement dimM = dimN Proposition 16 ( et dé…nition ) Le rang de l’application f'  =    f  '1 : '(U)  Rn !  (V )  Rm en un point x 2 U ( avec f(x) 2 V ) ne dépend pas des cartes ' et   choisie. Ce nombre est noté rgx(f) et est appelé le rang de f au point x: Proposition 17 Une application di¤érentiable f : M ! N est un di¤éomor- phisme si et seulement si f est une bijection de rg(f) = dimM = dimN en tout point de M:

3 – Sous variété différentiable, plongement

1.5 Sous variétés, plongements Dé…nition 18 Soit f : M ! N une application alors : 1) On dit que f est une Immersion si f est di¤érentiable et rgx(f) = dimM en tout point x de M: Autrement dit en locale la di¤érentielle df'  x de f en tout point x est injective. Donc necessairement dimM  dimN: 2) f est dite submersion si rgx(f) = dimN en tout point x de M: Autrement dit en locale la di¤érentielle df'  x de f en tout point x est Surjective. Donc necessairement dimM  dimN: Dé…nition 19 On dit qu’une application f : M ! N est un plongement si f est une immersion injective et est un homéomorphisme de M dans f(M) pour la topologie induite. Dé…nition 20 Soit M une variété di¤érentiable de dim = m: On dit qu’une partie N  M est une sous variété de M de dim = k; si pour tout x 2 N il existe une carte (U; ') contenant x; telle que '(U \ N) = '(U) \ Rk: On dit que la carte (U; ') est adapté à N: Proposition 21 Soient M et N deux variétés di¤érentiables de dimensions m et n respectivment et si f : M ! N est un plongement alors f(M) est une sous variété de N de dim = n Théorème 22 ( plongement de Whitney ) Toute variété di¤érentielle de dim = n admet un plongement sur une sous variété fermée de R2n+1

4 – Tutoriel vidéo

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