Variétés Topologiques

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1 - Rappel de topologie

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2 - Variétés topologiques

Défnition 3 On appelle variété topologique de dimension n tout espace topo- logique M séparé et à base dénombrable et telle que chaque point x possède un voisinage ouvert Ux homéomorphe à un ouvert de Rn; ie il existe un homéomor- phisme 'x : Ux ! 'x(Ux)  Rn: On dit alors que ('x;Ux) est une carte locale de la variété topologique MExemple 4 Un espace vectoriel normé de dim = n est une variété topologique de dimension n: Propriétés 5 Toute variété topologique X de dim = n possède les propriétés suivantes : 1) X possède un nombre au plus dénombrable de composantes connexes 2) Toute partie ouverte de X est une variété topologique de même dim = n ( en particulier les composantes connexes sont des variétés topologiques connexes de même dim = n) 3) Une variété topologique est localement compacte 4) Si X est une variété topologique connexe alors X est connexe par arc.

3 - Atlas

Défnition 6 On appelle Atlas d’une variété topologique M toute famille de cartes (Ui; 'i)i2I véri…ant : [ i2I Ui = M. L’atlas est dit di¤érentiable ( respec- tivement de classe Ck ) si 8i; j 2 I telle que Ui \ Uj 6= ? l’application dite de changement de carte 'i  '1 j : 'j(Ui \ Uj) ! 'i(Ui \ Uj) est di¤érentiable ( respectivement Ckdi¤éomorphisme ) Exemple 7 1) Rn est une variété topologique de dimension n pour l’atlas à une seule carte (Rn; id) 2) Tout Respace vectoriel E de dimension n est une variété de même dimen- sion : tout isomorphisme ' : E ! Rn dé…nit un atlas (E; '): De même tout ouvert U  E est également une variété, l’atlas etant (U; '): 3) Le cercle S1  R2 muni de la topologie induite est une variété de dimension 1 cependant il n’est pas homéomorphe à R (puisque S1 est compact ).Une seule carte ne sera donc pas su¢ sante pour créer un atlas. On dé…nit deux cartes (U1; '1) et (U2; '2) :  U1 = S1nf1; 0g '1 : U1 !]0; 2[ (cos ; sin ) 7!  et  U2 = S1nf1; 0g '2 : U2 !] ; [ (cos ; sin ) 7!  il est alors clair que S1 = U1[U2 et que '1  '1 2 est un di¤éomorphisme. Ainsi f(U1; '1); (U2; '2)g est un atlas 3) La sphère Sn  Rn+1 est une variété de dimension n: Pour y dé…nir un atlas on peut utiliser les projection fxi = 0g(2n + 2 cartes )

 4 - Structure de variété différentiable

Structure de variétés différentielles Défnition 8 Deux Atlas de classe Ck sur une même variété topologique, sont dit compatible si leur réunion est encore un Atlas de classe Ck: La relation de compatibilité ainsi introduite est une relation d’équivalence sur l’ensemble des Atlas de classe Ck: La réunion des éléments d’une classe suivant la relation de compatibilité dé…nit un Atlas maximal au sens de l’inclusion. Une varité di¤é- rentielle ( ou di¤érentiable ) de classe Ck est une variété topologique M muni d’un Atlas de classe Ck maximal. Une variété lisse est une variété di¤érentielle de classe C1: (?? ) Remarque 9 Tout sous ensemble ouvert d’une variété di¤érentiable M est lui même une variété di¤érentiable. Sa structure di¤érentable est dé…nie par la restriction à d’un atlas de M; c’est à dir par l’atlas A = fUi\ ; 'i=Ui\ g; où A = f(Ui; 'i)g est un atlas de M: Exemple 10 GLn(R) est une varié en tant que sous variété ouverte de Mn(R) Lemme 11 Soient M et N deux variétés di¤érentiables respectivement de dimensions n et k et d’atlas f(U ; ' )g et f(V ; )g: Alors M  N est une variété de dimension n + k, dont la structure di¤érentiable est dé…nie par l’atlas formé de toutes les cartes f(U  V ; '  )g où ('  )(p; q) = (' (p); (q)) 2 Rn+k Exemple 12 1) Le tor T2 est une variété de dimension 2 et plus généralement le tore Tn est une variété de dimension n ( espace de con…guration du bra d’un robot ) 2) Le cylindre R  Sn est une variété de dimension n + 1

 

 

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