- À propos des constantes mathématiques de SymPy
- Utiliser la constante pi
- Utiliser la constante E
- Utiliser l'infini avec oo
- Utiliser le nombre imaginaire I
- Obtenir une valeur numérique avec evalf()
- Utiliser les constantes dans des expressions symboliques
- Utiliser les constantes dans les limites et les intégrales
- Combiner pi, E, oo et I
- À retenir !
1. À propos des constantes mathématiques de SymPy
La bibliothèque SymPy fournit plusieurs constantes mathématiques symboliques prêtes à être utilisées dans les calculs. Parmi les plus importantes, nous trouvons pi, E, oo et I.
Ces objets ne sont pas de simples approximations décimales. SymPy les conserve sous leur forme exacte et symbolique, ce qui permet de réaliser des simplifications et des calculs algébriques exacts.
- pi représente le nombre π ;
- E représente le nombre d'Euler e ;
- oo représente l'infini positif ;
- I représente l'unité imaginaire telle que I² = -1.
Le programme suivant importe ces quatre constantes et les affiche.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import pi, E, oo, I print("pi =", pi) print("E =", E) print("oo =", oo) print("I =", I) |
Sortie :
1 2 3 4 | pi = pi E = E oo = oo I = I |
SymPy conserve donc ces constantes sous une forme symbolique au lieu de les remplacer immédiatement par des approximations numériques.
2. Utiliser la constante pi
La constante pi représente le nombre π, rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Elle peut être utilisée directement dans les expressions SymPy.
Le programme suivant calcule symboliquement la circonférence et l'aire d'un cercle de rayon 3.
1 2 3 4 5 6 7 8 | from sympy import pi r = 3 circonference = 2*pi*r aire = pi*r**2 print("Circonférence :", circonference) print("Aire :", aire) |
Sortie :
1 2 | Circonférence : 6*pi Aire : 9*pi |
Les résultats restent exacts. SymPy ne remplace pas automatiquement π par une approximation comme 3.14159.
La constante pi est également utilisée dans les fonctions trigonométriques. SymPy connaît de nombreuses valeurs remarquables et peut donc produire des résultats exacts.
1 2 3 4 5 | from sympy import pi, sin, cos print(sin(pi/2)) print(cos(pi)) print(sin(pi)) |
Sortie :
1 2 3 | 1 -1 0 |
SymPy reconnaît les angles remarquables et effectue les simplifications symboliques correspondantes.
3. Utiliser la constante E
La constante E représente le nombre d'Euler e, qui intervient notamment dans les fonctions exponentielles, les logarithmes, les équations différentielles et de nombreux modèles mathématiques.
Le programme suivant affiche E ainsi que plusieurs de ses puissances.
1 2 3 4 5 | from sympy import E print(E) print(E**2) print(E**3) |
Sortie :
1 2 3 | E exp(2) exp(3) |
Selon la représentation utilisée par SymPy, les puissances de E peuvent être affichées sous la forme exp(...). Il s'agit toujours d'expressions symboliques exactes.
SymPy connaît les relations fondamentales entre l'exponentielle et le logarithme. Le programme suivant illustre quelques simplifications.
1 2 3 4 | from sympy import E, log print(log(E)) print(log(E**2)) |
Sortie :
1 2 | 1 2 |
La constante E peut également intervenir dans une expression contenant une variable symbolique.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, E x = symbols("x") f = E**x print(f) |
Sortie :
1 | exp(x) |
4. Utiliser l'infini avec oo
SymPy utilise oo, composé de deux lettres o minuscules, pour représenter symboliquement l'infini positif. Cette constante est particulièrement utile dans le calcul des limites, des intégrales impropres et des intervalles non bornés.
Le programme suivant effectue quelques opérations simples avec oo.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import oo print(oo + 10) print(2*oo) print(1/oo) print(-oo) |
Sortie :
1 2 3 4 | oo oo 0 -oo |
L'objet -oo représente l'infini négatif.
Il faut cependant éviter de considérer l'infini comme un nombre réel ordinaire. Certaines opérations avec l'infini sont indéterminées. SymPy peut alors retourner l'objet nan, qui signifie ici que le résultat n'est pas une valeur numérique définie.
1 2 3 4 | from sympy import oo print(oo - oo) print(oo/oo) |
Sortie :
1 2 | nan nan |
Les formes comme ∞ - ∞ et ∞ / ∞ sont des formes indéterminées et ne peuvent pas être traitées comme des opérations arithmétiques ordinaires.
5. Utiliser le nombre imaginaire I
La constante I représente l'unité imaginaire définie par la relation I² = -1. Elle permet de construire et de manipuler des nombres complexes avec SymPy.
Le programme suivant vérifie directement la propriété fondamentale de I.
1 2 3 4 5 | from sympy import I print(I**2) print(I**3) print(I**4) |
Sortie :
1 2 3 | -1 -I 1 |
Les puissances de I se répètent selon un cycle de période 4.
Nous pouvons créer directement un nombre complexe sous la forme a + b*I.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import I z = 3 + 4*I print(z) print(z**2) |
Sortie :
1 2 | 3 + 4*I -7 + 24*I |
SymPy permet également d'obtenir la partie réelle, la partie imaginaire et le conjugué d'un nombre complexe.
1 2 3 4 5 6 7 | from sympy import I, re, im, conjugate z = 3 + 4*I print("Partie réelle :", re(z)) print("Partie imaginaire :", im(z)) print("Conjugué :", conjugate(z)) |
Sortie :
1 2 3 | Partie réelle : 3 Partie imaginaire : 4 Conjugué : 3 - 4*I |
6. Obtenir une valeur numérique avec evalf()
Les constantes pi et E sont conservées sous forme exacte. La méthode evalf() permet d'obtenir une approximation numérique lorsqu'elle est nécessaire.
Le programme suivant calcule des approximations de π et e.
1 2 3 4 | from sympy import pi, E print(pi.evalf()) print(E.evalf()) |
Sortie :
1 2 | 3.14159265358979 2.71828182845905 |
Nous pouvons préciser le nombre de chiffres significatifs souhaité en passant une valeur à evalf().
1 2 3 4 | from sympy import pi, E print(pi.evalf(30)) print(E.evalf(30)) |
Sortie :
1 2 | 3.14159265358979323846264338328 2.71828182845904523536028747135 |
Il est généralement préférable de conserver les constantes sous leur forme symbolique exacte pendant les calculs et de demander une approximation numérique seulement lorsque cela est nécessaire.
7. Utiliser les constantes dans des expressions symboliques
Les constantes pi, E et I peuvent être combinées avec des variables symboliques pour construire des expressions mathématiques plus complexes.
Le programme suivant crée une expression contenant pi et une variable symbolique x.
1 2 3 4 5 6 7 | from sympy import symbols, pi x = symbols("x") expression = pi*x**2 print(expression) print(expression.subs(x, 3)) |
Sortie :
1 2 | pi*x**2 9*pi |
Le résultat 9*pi reste exact. Nous pouvons ensuite demander une approximation numérique avec evalf().
1 2 3 4 5 6 7 | from sympy import symbols, pi x = symbols("x") expression = pi*x**2 resultat = expression.subs(x, 3) print(resultat.evalf()) |
Sortie :
1 | 28.2743338823081 |
Nous pouvons également construire des expressions exponentielles complexes contenant E et I.
1 2 3 4 5 | from sympy import E, I, pi expression = E**(I*pi) print(expression) |
Sortie :
1 | -1 |
SymPy reconnaît ici automatiquement la célèbre identité d'Euler.
8. Utiliser les constantes dans les limites et les intégrales
La constante oo est particulièrement importante pour calculer des limites à l'infini. La fonction limit() permet de préciser que la variable tend vers l'infini.
Le programme suivant calcule la limite de 1/x lorsque x tend vers l'infini positif.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, limit, oo x = symbols("x") resultat = limit(1/x, x, oo) print(resultat) |
Sortie :
1 |
Nous pouvons également utiliser oo comme borne d'une intégrale impropre.
Le programme suivant calcule l'intégrale de e-x entre 0 et +∞.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, integrate, exp, oo x = symbols("x", positive=True) resultat = integrate(exp(-x), (x, 0, oo)) print(resultat) |
Sortie :
1 | 1 |
Les constantes symboliques de SymPy permettent ainsi d'exprimer directement des calculs mathématiques faisant intervenir des bornes infinies.
9. Combiner pi, E, oo et I
Les constantes de SymPy peuvent être combinées dans des expressions symboliques. Une relation particulièrement remarquable relie E, I et pi : l'identité d'Euler.
Le programme suivant calcule E**(I*pi) puis E**(I*pi) + 1.
1 2 3 4 | from sympy import E, I, pi print(E**(I*pi)) print(E**(I*pi) + 1) |
Sortie :
1 2 | -1 0 |
Nous retrouvons ainsi l'identité :
eiπ + 1 = 0
La constante oo peut également intervenir avec des fonctions exponentielles. Le programme suivant calcule la limite de e-x lorsque x tend vers +∞.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, exp, limit, oo x = symbols("x") resultat = limit(exp(-x), x, oo) print(resultat) |
Sortie :
1 |
Ces exemples montrent que les constantes SymPy ne sont pas de simples valeurs prédéfinies : elles participent pleinement au moteur de calcul symbolique.
10. À retenir !
SymPy fournit plusieurs constantes mathématiques symboliques qui permettent d'effectuer des calculs exacts avant de demander, si nécessaire, une approximation numérique.
- pi représente exactement le nombre π.
- E représente exactement le nombre d'Euler e.
- oo représente l'infini positif.
- -oo représente l'infini négatif.
- I représente l'unité imaginaire vérifiant I² = -1.
- pi peut être utilisé dans les expressions trigonométriques et géométriques.
- E intervient naturellement dans les expressions exponentielles et logarithmiques.
- oo est particulièrement utile pour les limites et les intégrales impropres.
- I permet de créer et de manipuler des nombres complexes.
- evalf() permet d'obtenir une approximation numérique d'une constante ou d'une expression symbolique.
Le programme suivant rassemble plusieurs propriétés fondamentales des quatre constantes étudiées.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | from sympy import pi, E, oo, I, sin print("pi =", pi) print("Approximation de pi =", pi.evalf()) print("E =", E) print("Approximation de E =", E.evalf()) print("1/oo =", 1/oo) print("I**2 =", I**2) print("sin(pi/2) =", sin(pi/2)) print("E**(I*pi) + 1 =", E**(I*pi) + 1) |
Sortie :
1 2 3 4 5 6 7 8 | pi = pi Approximation de pi = 3.14159265358979 E = E Approximation de E = 2.71828182845905 1/oo = 0 I**2 = -1 sin(pi/2) = 1 E**(I*pi) + 1 = 0 |
Auteur : Younes Derfoufi
Lieu de travail : CRMEF OUJDA
Site Web : www.tresfacile.net
Chaine YouTube : https://www.youtube.com/user/InformatiquesFacile
Me contacter : https://www.tresfacile.net/me-contacter/
