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Cours Python

    Les bases en Python
  1. Introduction à Python
  2. Ide Python
  3. Premier programme Python
  4. Les variables en Python
  5. Les commentaires en Python
  6. Les opérateurs Python
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  10. Formatage des chaines Python
  11. Les listes en Python
  12. Les tuples en Python
  13. Les dictionnaires en Python
  14. Les ensembles en Python
  15. POO et classes en Python
  16. Héritage en Python
  17. Les exceptions en Python
  18. Le gestionnaire des packages pip
  19. Télécharger le cours complet
    20. Les modules en Python
  20. Les modules en Python
  21. Le module OS
  22. Module datetime Python
  23. Le module Platform
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  26. Le module googletrans
    27. Les fichiers en Python
  27. Les fichiers en Python
  28. Les fichiers ouverture & lecture
  29. Les fichiers ouverture & écriture
  30. Les fichiers CSV en Python
  31. Les Fichiers JSON En Python
  32. Fichier de configuration .ini
    33. BDD en Python
  33. Python & SQLite database
  34. DB Browser for SQLite
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    Interface Graphique Tkinter
  36. Les Windgets Tkinter
  37. Bibliothèque d'images PILLOW
  38. Module de style tkinter.ttk
  39. Liste déroulante ttk Combobox
  40. le module filedialog
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  42. Bibliothèque graphique wxPython
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  50. Bibliothèques Pandas
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  58. Créer une application django
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  69. Exercices Python: les fichiers
  70. Tous les TP Python
    71. Projets En Python
  71. Création Editeur de Texte en Python Partie1
  72. Carnet d'adresse en Python
    73. Formations En Python
  73. Formation Python-partie1

Cours Java

Cours Java
    Les bases Java
  1. Java : Introduction
  2. Les outils nécessaires
  3. Premier programme Java
  4. Variables et opérateurs Java
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  14. Exceptions Java
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  19. Swing - partie 1 : JFrame-JButton-JLabel
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  27. Premier Programme JavaFX
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Développement Web

Cours HTML
  1. Introduction au langage HTML
  2. Structure d'un document HTML
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Transformation naturelle

Publié le 16 décembre 2015

1. Transformation naturelle entre deux foncteurs

16-transformation naturelle entre deux foncteurs : En théorie des catégories, une transformation naturelle permet de transformer un foncteur en un autre tout en respectant la structure interne (i.e. la composition des morphismes) des catégories considérées. On peut ainsi la voir comme un morphisme de foncteurs. Définition Soient C et D deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de C dans D. Une transformation naturelle η de F vers G est la donnée, pour tout objet X de C, d'un morphisme de D : \eta_X : F(X) \rightarrow G(X), telle que pour tous objets X et Y de C et tout morphisme f de X dans Y, le diagramme suivant soit commutatif : Natural transformation.svg On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus. Si pour tout objet X de C, ηX est un isomorphisme, on dit que η est une « équivalence naturelle » ou un « isomorphisme naturel ».

2. Isomorphisme naturelle

17-isomorphisme-naturel : If both F and G are contravariant, the horizontal arrows in this diagram are reversed. If η is a natural transformation from F to G, we also write η : F → G or η : F ⇒ G. This is also expressed by saying the family of morphisms ηX : F(X) → G(X) is natural in X. If, for every object X in C, the morphism ηX is an isomorphism in D, then η is said to be a natural isomorphism (or sometimes natural equivalence or isomorphism of functors). Two functors F and G are called naturally isomorphic or simply isomorphic if there exists a natural isomorphism from F to G. An infranatural transformation η from F to G is simply a family of morphisms ηX: F(X) → G(X). Thus a natural transformation is an infranatural transformation for which ηY ∘ F(f) = G(f) ∘ ηX for every morphism f : X → Y. The naturalizer of η, nat(η), is the largest subcategory of C containing all the objects of C on which η restricts to a natural transformation.

3. Exemples et propriétés d'une transformation naturelle

18-exemples et propriétés d'une transformation naturelle : Operations with natural transformations If η : F → G and ε : G → H are natural transformations between functors F,G,H : C → D, then we can compose them to get a natural transformation εη : F → H. This is done componentwise: (εη)X = εXηX. This "vertical composition" of natural transformation is associative and has an identity, and allows one to consider the collection of all functors C → D itself as a category (see below under Functor categories). Natural transformations also have a "horizontal composition". If η : F → G is a natural transformation between functors F,G : C → D and ε : J → K is a natural transformation between functors J,K : D → E, then the composition of functors allows a composition of natural transformations ηε : JF → KG. This operation is also associative with identity, and the identity coincides with that for vertical composition. The two operations are related by an identity which exchanges vertical composition with horizontal composition. If η : F → G is a natural transformation between functors F,G : C → D, and H : D → E is another functor, then we can form the natural transformation Hη : HF → HG by defining

 

Younes Derfoufi
CRMEF OUJDA

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Publié dans Catégories et Foncteurs

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