Notion de Foncteur

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1. Définition d'un  Foncteur

25-définition-d-un-foncteur : Un foncteur (ou foncteur covariant) F : C → D d'une catégorie C dans une catégorie D est la donnée d'une fonction qui, à tout objet X de C, associe un objet F(X) de D, d'une fonction qui, à tout morphisme f : X → Y de C, associe un morphisme F(f) : F(X) → F(Y) de D, qui respectent les identités : pour tout objet X de C,F(\mathrm{Id}_A)=\mathrm {Id}_{F(A)}, respectent la composition : pour tous objets X, Y et Z et morphismes f : X → Y et g : Y → Z de C,F(g\circ f)=F(g)\circ F(f). Un foncteur contravariant G d'une catégorie C dans une catégorie D est un foncteur covariant de la catégorie opposée Cop dans D. À tout morphisme f : X → Y de C, il associe donc un morphisme G(f) : G(Y) → G(X) de D, et l'on a la « relation de compatibilité » G(g ∘ f) = G(f) ∘ G(g).

2. Exemples de foncteurs

26-exemples-de-foncteurs : Exemples Le foncteur identité d'une catégorie C, souvent noté 1C ou idC : C → C, qui envoie chaque objet ou morphisme de C sur lui-même. Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets : le foncteur de Ab dans Grp qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie qui contient aussi les groupes non abéliens (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien) ; le foncteur de Grp dans Set qui à un groupe associe son ensemble sous-jacent (on a « oublié » la structure de groupe). Pour tout objet X d'une catégorie C localement petite, les deux foncteurs Hom : C → Set : Y ↦ Hom (X, Y) (covariant) et Y ↦ Hom (Y, X) (contravariant). Entre deux monoïdes (qui sont des catégories à un seul objet), les foncteurs covariants sont simplement les morphismes de monoïdes. Propriétés de foncteurs Foncteurs fidèles, pleins, pleinement fidèles Article détaillé : Foncteur plein et fidèle. On dit qu'un foncteur F : C → D est : fidèle si deux morphismes f, g : X → Y dans C sont égaux dès que leurs images F(f), F(g) : F(X) → F(Y) dans D le sont ; plein si tout morphisme F(X) → F(Y) est égal à un F(f) ; pleinement fidèle s'il est à la fois fidèle et plein. Exemples Un morphisme de monoïdes (cf. dernier exemple ci-dessus) est fidèle si et seulement s'il est injectif, et plein si et seulement s'il est surjectif. Le foncteur d'oubli de Ab dans Grp est pleinement fidèle. Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est fidèle (mais pas plein) ; plus généralement, si F est l'inclusion d'une sous-catégorie C dans une catégorie D, alors il est fidèle.

27-exemples-de-foncteurs : Foncteurs conservatifs Trivialement, tout foncteur F : C → D préserve les isomorphismes, c'est-à-dire que si f est un isomorphisme dans C alors F(f) est un isomorphisme dans D. Le foncteur F est dit conservatif si réciproquement, un morphisme f dans C est un isomorphisme dès que F(f) en est un dans D. Exemples Un morphisme F de monoïdes (cf. fin du § « Exemples » ci-dessus) est conservatif si et seulement si tout antécédent par F d'un élément inversible est inversible. Tout foncteur pleinement fidèle est conservatif. Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est conservatif. Foncteurs adjoints Article détaillé : Foncteur adjoint. Soient C et D deux catégories, F un foncteur de C dans D et G de D dans C, tels que pour tout objet X \in C et Y \in D on ait une bijection, naturelle en X et Y, {\rm Hom}_D \left( F \left (X \right), Y\right)\simeq{\rm Hom}_C \left( X , G \left (Y \right) \right). Alors F est dit adjoint à gauche de G, et G adjoint à droite de F.

3. Foncteur contravariant

28-foncteur-contravariant : Un foncteur contravariant de C à D est un foncteur G de C^{op} dans D, qui envoie chaque objet X de C dans un objet F(X) de D et chaque morphisme f:X→Y dans un morphisme F(f):F(Y)→F(X). On a évidemment F(f∘g)=F(g)∘F(f) <example/>Soit F:Vect→Vect le foncteur définit sur la catégorie des espaces vectoriels qui fais associer chaque espace vectoriel E à son dual E^{∗} et à chaque morphisme f:E→F (application linéaire ) fais associer sa transposée f^{∗}:F^{∗}→E^{∗} ϕ↦f^{∗}(ϕ)=ϕ∘f

 

Younes Derfoufi
CRMEF OUJDA

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