Foncteurs fidèle et pleinement fidèle, équivalence de catégories, foncteur conservatif

Publié le 18 décembre 2015

1. Foncteur plein, pleinement fidèle

$19-foncteur-plein-pleinement-fidèle : Foncteurs fidèles, pleins Un foncteur F:C→D définit pour tous objets X et Y de C une application F_{X,Y}:Hom_{C}(X,Y)→Hom_{D}(F(X),F(Y)) qui à chaque flèche f:X→Y fait associer la flèche F(f):F(X)→F(Y). <definition/>Soit F:C→D un foncteur. 1- On dit que F est fidèle si F_{X,Y} est injective 2- On dit que F est plein si F_{X,Y} est surjective 3- On dit que F est pleinement fidèle s'il est à la fois fidèle et plein. 4- On dit que F est essentielement surjectif si pour tout objet Y de D il existe un objet X de C tel que F(X)≅Y ie il existe un morphisme f:F(X)→Y qui est bijectif. Un foncteur fidèle n'a pas nécessairement besoin d'être injectif sur les objets ou les morphismes des catégories mises en jeu. Deux objets X et X′ peuvent s'envoyer sur le même objet dans D (c'est la raison pour laquelle l'image d'un foncteur pleinement fidèle n'est pas forcément isomorphe à son domaine), et deux morphismes f : X → Y et f′ : X′ → Y′ peuvent s'envoyer sur le même morphisme dans D. De la même manière, un foncteur plein n'est pas forcément surjectif sur les objets ou sur les morphismes. Il peut y avoir des objets de D qui ne sont pas de la forme FX avec X dans C, et des morphismes entre ces objets ne peuvent alors par être image d'un morphisme de C.$

2. Equivalence de catégories

3. Foncteur conservatif

$21-foncteurs-conservatifs : Foncteurs conservatifs definition Un foncteur F:C→D est dit conservatif si un morphisme f:X→Y de la catégorie C est un isomorphisme dès que F(f):F(X)→F(Y) l'est i.e (F(f) isomorphisme)⇒f isomorphisme) example Le foncteur oubli Grp dans Ens est conservatif. example Le foncteur F:Grp→Grp G→F(G)=Z(G) et qui à chaque flèche f:G₁→G₂ fait associer F(f)=f_{e}:Z(G₁)→Z(G₂) f_{e}(x)=e ( élément neutre de G₂) est un foncteur qui n'est pas conservatif. Foncteurs conservatifs Trivialement, tout foncteur F : C → D préserve les isomorphismes, c'est-à-dire que si f est un isomorphisme dans C alors F(f) est un isomorphisme dans D. Le foncteur F est dit conservatif si réciproquement, un morphisme f dans C est un isomorphisme dès que F(f) en est un dans D. Exemples. Un morphisme F de monoïdes (cf. fin du § « Exemples » ci-dessus) est conservatif si et seulement si tout antécédent par F d'un élément inversible est inversible. Tout foncteur pleinement fidèle est conservatif. Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est conservatif.$

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Foncteurs fidèle et pleinement fidèle, équivalence de catégories, foncteur conservatif

1. Foncteur plein, pleinement fidèle

2. Equivalence de catégories

3. Foncteur conservatif

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