Théories des ensembles

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1 - Notions d'ensembles

Ensembles et applications Théorie des ensembles Notion d'ensemble <definition/>Un ensemble est une collection d'objets. Les objets qui forment l'ensemble sont appelés les éléments de cet ensemble. <example/>{1,2}, {(1/2),-7,13,((-2)/7)}, {voiture, moto, train} sont des ensembles. 1 et 2 sont des éléments de l'ensemble {1,2} et on écrit 1∈{1,2} ( lire 1 appartient à E) et 9∉{1,2} ( lire 9 n'appartient pas à {1,2}) <definition/>L'ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l'ensemble vide et est noté . <definition/>On dit qu'un ensemble A est un sous ensemble ou une partie de E si tout élément de A est un élément de E, et on note A⊂E <example/>A={3,-11} est une partie de E={1,3,8,-11,37}

2 - Inclusion, intersection, union, ensemble des parties

Inclusion, Union, Intersection, Ensemble des parties Dans tout ce paragraphe E designe un ensemble non vide et A , B et C des sous ensembles de E. <definition/>(inclusion ) On dit que A est inclus dans B et on note A⊂B , si tout élément de A est un élément de B. Autrement dit : <K1.1/> <K1.1 ilk="TABLE" > A⊂B⇔[∀x∈E, x∈A⇒x∈B] </K1.1> <remark/>(A⊂B et B⊂C)⇒A⊂C <definition/>On dit que A est égale à B et on écrit : A=B si : A⊂B et B⊂A. Autrement dit : <K1.1/> <K1.1 ilk="TABLE" > A=B⇔(A⊂B et B⊂A) </K1.1>

<definition/>(ensemble des parties de E) L'ensemble de tous les sous ensembles de E noté P(E) est appelé : ensemble des parties de E. P(E) est caractérisé par : <K1.1/> <K1.1 ilk="TABLE" > A∈P(E)⇔(A⊂E) </K1.1> <remark/>Pour tout ensemble E on a : ∈P(E) et E∈P(E). <example/>Si E={0,1} alors P(E)={,{0},{1},{0,1}} <definition/>( Intersection ) L'intersection de A et B notée A∩B est le sous ensemble de E formé des éléments appartements à A et à B. <K1.1/> <K1.2/> <K1.1 ilk="TABLE" > A∩B={x∈E/ x∈A et x∈B} </K1.1> <K1.2 ilk="TABLE" > x∈A∩B⇔(x∈A et x∈B) </K1.2> <example/>Si E={a,b,c,d,e} , A={a,c,e} et B={c,d,e} alors A∩B={c,e} <propriete/>Si A,B et C des parties de E alors on a : 1) A∩B⊂A et A∩B⊂B 2) A∩A=A et A∩= 3) A⊂B⇔A∩B=A 4) A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

<definition/>( union ) La réunion de A et de B est la partie de E notée A∪B définie par : A∪B={x∈E/ x∈A ou x∈B}. Autrement dit : <K1.1/> <K1.1 ilk="TABLE" > x∈A∪B⇔(x∈A ou x∈B) </K1.1> <example/>Si E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} , A={4,6} et B={5,7} alors A∪B={4,5,6,7} <definition/>( Complémentaire ) L'ensemble des éléments appartenant à E et n'appartenant pas à A est appelé complémentaire de A dans E, noté C_{E}^{A} ou simplement A. <K1.1/> <K1.2/> <K1.1 ilk="TABLE" > A=C_{E}^{A}={x∈E/ x∉A } </K1.1> <K1.2 ilk="TABLE" > ∀x∈E/ x∈A⇔x∉A </K1.2> <propriete/>Si A,B et C des parties de E alors on a : 1) A⊂A∪B et B⊂A∪B et A∩B⊂A∪B 2) A∪A=A et A∪=A et A∪A=E 3) A⊂B⇔A∪B=B 4) A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 5) C_{E}^{C_{E}^{A}}=A et C_{E}^{}=E 6) A⊂B⇔C_{E}^{B}⊂C_{E}^{A} 7) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 8) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 9) C_{E}^{A∪B}=C_{E}^{A}∩C_{E}^{B} et C_{E}^{A∩B}=C_{E}^{A}∪C_{E}^{B}

 

3 - Différence de deux ensembles, produit cartesien

Différence de deux ensembles

Différence de deux ensembles <definition/>La différence de A et B notée A\B est l'ensemble des éléments appartenant à A et n'appartenant pas à B. Autrement dit : <K1.1/> <K1.2/> <K1.1 ilk="TABLE" > A\B={x∈A/ x∉B } </K1.1> <K1.2 ilk="TABLE" > x∈A\B⇔x∈A et x∉B </K1.2> <remark/>Si A⊂B alors A\B= et B\A=C_{B}^{A} <remark/>A\B=A∩C_{E}^{B} et A=(A\B)∪(A∩B) Produit cartesien <definition/>Le produit cartesien de A et B est l'ensemble A×B={(x,y)/x∈A et y∈}. Si A=B le produit cartesien A×B sra noté A² (carré cartesien ) <example/>Si A={1,2} et B={0,2,3} alors A×B={(1,0),(1,2),(1,3),(2,0),(2,2),(2,3)}.

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