- À propos de la décomposition des fractions rationnelles avec SymPy
- Décomposer une fraction rationnelle avec apart()
- Décomposer une fraction avec des facteurs linéaires
- Décomposer une fraction avec des facteurs répétés
- Décomposer une fraction rationnelle impropre
- Choisir la variable de décomposition
- Utiliser apart() avec cancel() et factor()
- Reconstituer la fraction avec together()
- Utiliser apart() dans le calcul symbolique
- À retenir !
1. À propos de la décomposition des fractions rationnelles avec SymPy
En algèbre, une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Dans de nombreux calculs, il est utile de transformer une fraction rationnelle complexe en une somme de fractions plus simples. Cette opération est appelée décomposition en éléments simples.
La bibliothèque SymPy fournit la fonction apart() pour effectuer automatiquement cette décomposition. Elle est notamment utile en calcul symbolique, en intégration et dans l'étude des fonctions rationnelles.
Le programme suivant présente une première décomposition en éléments simples.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, apart x = symbols("x") expression = (2*x + 3)/((x + 1)*(x + 2)) resultat = apart(expression, x) print(resultat) |
Sortie :
1 | 1/(x + 2) + 1/(x + 1) |
La fraction initiale est ainsi transformée en une somme de deux fractions plus simples. Les deux expressions sont algébriquement équivalentes sur le domaine de définition de la fraction originale.
2. Décomposer une fraction rationnelle avec apart()
La syntaxe courante est apart(expression, variable). Le premier argument représente la fraction rationnelle à décomposer et le second indique la variable par rapport à laquelle la décomposition doit être effectuée.
Le programme suivant décompose la fraction (3x + 5)/((x + 1)(x + 2)).
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, apart x = symbols("x") expression = (3*x + 5)/((x + 1)*(x + 2)) resultat = apart(expression, x) print(resultat) |
Sortie :
1 | 1/(x + 2) + 2/(x + 1) |
La fraction initiale est donc écrite comme la somme de deux fractions dont les dénominateurs correspondent aux facteurs du dénominateur original.
La fonction apart() peut également être appelée sans préciser explicitement la variable lorsqu'elle peut être déterminée sans ambiguïté.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, apart x = symbols("x") expression = (5*x + 7)/((x + 1)*(x + 2)) resultat = apart(expression) print(resultat) |
Sortie :
1 | 3/(x + 2) + 2/(x + 1) |
Dans les expressions comportant plusieurs symboles, il est cependant préférable de préciser la variable de décomposition.
3. Décomposer une fraction avec des facteurs linéaires
Lorsque le dénominateur est le produit de plusieurs facteurs linéaires distincts, apart() cherche une décomposition contenant une fraction simple pour chacun de ces facteurs.
Le programme suivant décompose une fraction dont le dénominateur contient trois facteurs linéaires.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, apart x = symbols("x") expression = 1/(x*(x + 1)*(x + 2)) resultat = apart(expression, x) print(resultat) |
Sortie :
1 | -1/(x + 1) + 1/(2*(x + 2)) + 1/(2*x) |
La fraction initiale est remplacée par trois fractions plus simples associées respectivement aux facteurs x, x + 1 et x + 2.
La décomposition fonctionne également lorsque le numérateur est un polynôme non constant.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, apart x = symbols("x") expression = (x + 3)/(x*(x + 1)) resultat = apart(expression, x) print(resultat) |
Sortie :
1 | -2/(x + 1) + 3/x |
Cette écriture permet souvent de simplifier les opérations effectuées ensuite sur la fraction rationnelle.
4. Décomposer une fraction avec des facteurs répétés
Le dénominateur d'une fraction rationnelle peut contenir un facteur répété. Dans ce cas, la décomposition en éléments simples contient généralement plusieurs termes associés aux différentes puissances de ce facteur.
Le programme suivant décompose une fraction dont le dénominateur contient le facteur répété (x + 1)².
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, apart x = symbols("x") expression = 1/(x*(x + 1)**2) resultat = apart(expression, x) print(resultat) |
Sortie :
1 | -1/(x + 1) - 1/(x + 1)**2 + 1/x |
SymPy fait apparaître un terme en 1/(x + 1) et un autre en 1/(x + 1)², conformément à la méthode classique de décomposition en éléments simples.
Le même principe fonctionne pour une puissance plus élevée du facteur.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, apart x = symbols("x") expression = 1/(x*(x + 1)**3) resultat = apart(expression, x) print(resultat) |
Sortie :
1 | -1/(x + 1) - 1/(x + 1)**2 - 1/(x + 1)**3 + 1/x |
Les différentes puissances du facteur répété apparaissent donc automatiquement dans la décomposition.
5. Décomposer une fraction rationnelle impropre
Une fraction rationnelle impropre est une fraction dans laquelle le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur. Avant la décomposition en éléments simples, une division polynomiale permet alors de faire apparaître une partie polynomiale.
La fonction apart() effectue automatiquement cette opération. Le programme suivant utilise un numérateur de degré 2 et un dénominateur de degré 1.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, apart x = symbols("x") expression = (x**2 + 1)/(x + 1) resultat = apart(expression, x) print(resultat) |
Sortie :
1 | x - 1 + 2/(x + 1) |
Le résultat contient la partie polynomiale x - 1 et la fraction propre 2/(x + 1).
La même opération peut être réalisée avec un dénominateur contenant plusieurs facteurs.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, apart x = symbols("x") expression = (x**3 + 1)/(x*(x + 1)) resultat = apart(expression, x) print(resultat) |
Sortie :
1 | x - 1 + 1/x |
SymPy effectue donc automatiquement la division nécessaire avant de présenter la décomposition finale.
6. Choisir la variable de décomposition
Lorsqu'une expression contient plusieurs symboles, il est important d'indiquer à apart() la variable par rapport à laquelle la fraction doit être décomposée. Les autres symboles sont alors considérés comme des paramètres.
Le programme suivant décompose une fraction par rapport à x, tandis que a est traité comme un paramètre.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, apart x, a = symbols("x a") expression = 1/(x*(x + a)) resultat = apart(expression, x) print(resultat) |
Sortie :
1 | -1/(a*(a + x)) + 1/(a*x) |
Cette décomposition suppose implicitement que les paramètres permettent les divisions affichées, notamment que a n'est pas nul. Lorsque des paramètres symboliques sont présents, certaines valeurs particulières peuvent donc nécessiter une étude séparée.
Nous pouvons également effectuer une décomposition par rapport à une autre variable.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, apart x, y = symbols("x y") expression = 1/(y*(x + y)) resultat = apart(expression, y) print(resultat) |
Sortie :
1 | -1/(x*(x + y)) + 1/(x*y) |
La variable passée en second argument à apart() détermine donc la variable principale utilisée pour la décomposition.
7. Utiliser apart() avec cancel() et factor()
Les fonctions apart(), cancel() et factor() sont complémentaires. cancel() réduit une fraction rationnelle, factor() fait apparaître ses facteurs et apart() la transforme en une somme d'éléments simples.
Le programme suivant commence par réduire une fraction avant de la décomposer.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 | from sympy import symbols, cancel, apart x = symbols("x") expression = (x**2 - 1)/(x*(x - 1)) reduite = cancel(expression) decomposee = apart(reduite, x) print("Fraction réduite :", reduite) print("Décomposition :", decomposee) |
Sortie :
1 2 | Fraction réduite : (x + 1)/x Décomposition : 1 + 1/x |
La réduction supprime d'abord le facteur commun x - 1, puis apart() transforme (x + 1)/x en 1 + 1/x. La valeur x = 1, interdite dans l'expression originale, doit néanmoins rester exclue si l'on étudie le domaine initial.
La fonction factor() peut quant à elle être utilisée pour observer la structure du dénominateur avant la décomposition.
1 2 3 4 5 6 7 | from sympy import symbols, factor, apart x = symbols("x") expression = (2*x + 3)/(x**2 + 3*x + 2) print("Dénominateur factorisé :", factor(x**2 + 3*x + 2)) print("Décomposition :", apart(expression, x)) |
Sortie :
1 2 | Dénominateur factorisé : (x + 1)*(x + 2) Décomposition : 1/(x + 2) + 1/(x + 1) |
La factorisation du dénominateur permet de comprendre immédiatement l'origine des dénominateurs présents dans la décomposition.
8. Reconstituer la fraction avec together()
La fonction together() effectue une transformation complémentaire à apart(). Alors que apart() décompose une fraction rationnelle en éléments simples, together() permet de réunir plusieurs fractions sous un dénominateur commun.
Le programme suivant décompose une fraction puis reconstitue une fraction unique.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 | from sympy import symbols, apart, together x = symbols("x") expression = (3*x + 5)/((x + 1)*(x + 2)) decomposee = apart(expression, x) reconstituee = together(decomposee) print("Décomposition :", decomposee) print("Reconstitution :", reconstituee) |
Sortie :
1 2 | Décomposition : 1/(x + 2) + 2/(x + 1) Reconstitution : (3*x + 5)/((x + 1)*(x + 2)) |
Nous retrouvons ainsi la fraction rationnelle de départ. apart() et together() permettent donc de passer entre deux représentations différentes d'une même expression rationnelle.
Nous pouvons également partir directement d'une somme de fractions et utiliser together() pour retrouver une fraction unique.
1 2 3 4 5 6 | from sympy import symbols, together x = symbols("x") expression = 2/(x - 1) + 3/(x + 1) resultat = together(expression) print(resultat) |
Sortie :
1 | (5*x + 1)/((x - 1)*(x + 1)) |
Cette opération est particulièrement utile pour vérifier une décomposition en éléments simples.
9. Utiliser apart() dans le calcul symbolique
La décomposition en éléments simples est particulièrement importante en calcul intégral. Une fraction rationnelle difficile à intégrer directement à la main peut devenir une somme de termes élémentaires dont les primitives sont connues.
Le programme suivant décompose une fraction avant de calculer sa primitive avec integrate().
1 2 3 4 5 6 7 8 9 | from sympy import symbols, apart, integrate x = symbols("x", positive=True) expression = (2*x + 3)/((x + 1)*(x + 2)) decomposee = apart(expression, x) primitive = integrate(decomposee, x) print("Décomposition :", decomposee) print("Primitive :", primitive) |
Sortie :
1 2 | Décomposition : 1/(x + 2) + 1/(x + 1) Primitive : log(x + 1) + log(x + 2) |
L'hypothèse positive=True permet ici d'obtenir une écriture simple des logarithmes sur le domaine positif considéré. Sans hypothèse adaptée, SymPy peut produire une forme tenant compte d'un domaine plus général.
La décomposition peut également rendre plus lisible une expression avant d'autres opérations symboliques.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 | from sympy import symbols, apart, diff x = symbols("x") expression = (3*x + 5)/((x + 1)*(x + 2)) decomposee = apart(expression, x) derivee = diff(decomposee, x) print("Décomposition :", decomposee) print("Dérivée :", derivee) |
Sortie :
1 2 | Décomposition : 1/(x + 2) + 2/(x + 1) Dérivée : -1/(x + 2)**2 - 2/(x + 1)**2 |
La forme décomposée rend ici la structure de la dérivée particulièrement facile à interpréter.
10. À retenir !
La fonction apart() de SymPy permet de réaliser automatiquement la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle. Elle transforme une fraction complexe en une somme de fractions généralement plus simples à manipuler.
- apart(expression, x) décompose une fraction rationnelle par rapport à la variable x.
- La fonction traite automatiquement les facteurs linéaires du dénominateur.
- Elle sait également gérer les facteurs répétés.
- Pour une fraction impropre, apart() fait apparaître une partie polynomiale.
- Dans une expression contenant plusieurs symboles, il est préférable de préciser la variable de décomposition.
- Les autres symboles peuvent être traités comme des paramètres.
- cancel() peut être utilisé avant apart() pour réduire une fraction.
- factor() permet de visualiser les facteurs du dénominateur.
- together() permet de réunir les éléments simples sous un dénominateur commun.
- La décomposition avec apart() est particulièrement utile pour le calcul intégral et la manipulation des fonctions rationnelles.
Le programme suivant résume les principales transformations en réduisant une fraction, en la décomposant puis en la reconstituant.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | from sympy import symbols, cancel, apart, together x = symbols("x") expression = (2*x**2 + 5*x + 3)/(x*(x + 1)) reduite = cancel(expression) decomposee = apart(reduite, x) reconstituee = together(decomposee) print("Fraction réduite :", reduite) print("Décomposition :", decomposee) print("Reconstitution :", reconstituee) |
Sortie :
1 2 3 | Fraction réduite : (2*x + 3)/x Décomposition : 2 + 3/x Reconstitution : (2*x + 3)/x |
Auteur : Younes Derfoufi
Lieu de travail : CRMEF OUJDA
Site Web : www.tresfacile.net
Chaine YouTube : https://www.youtube.com/user/InformatiquesFacile
Me contacter : https://www.tresfacile.net/me-contacter/
