Variétés Topologiques

Publié le 6 septembre 2016

1 – Rappel de topologie

1-variétés-topologiques

2 – Variétés topologiques

Défnition 3 On appelle variété topologique de dimension n tout espace topo- logique M séparé et à base dénombrable et telle que chaque point x possède un voisinage ouvert Ux homéomorphe à un ouvert de Rn; ie il existe un homéomor- phisme 'x : Ux ! 'x(Ux) Rn: On dit alors que ('x;Ux) est une carte locale de la variété topologique M

3 – Atlas

$Défnition 6 On appelle Atlas dune variété topologique M toute famille de cartes (Ui; 'i)i2I vériant : [ i2I Ui = M. Latlas est dit di¤érentiable ( respec- tivement de classe Ck ) si 8i; j 2 I telle que Ui \ Uj 6= ? lapplication dite de changement de carte 'i '1 j : 'j(Ui \ Uj) ! 'i(Ui \ Uj) est di¤érentiable ( respectivement Ckdi¤éomorphisme ) Exemple 7 1) Rn est une variété topologique de dimension n pour latlas à une seule carte (Rn; id) 2) Tout Respace vectoriel E de dimension n est une variété de même dimen- sion : tout isomorphisme ' : E ! Rn dénit un atlas (E; '): De même tout ouvert U E est également une variété, latlas etant (U; '): 3) Le cercle S1 R2 muni de la topologie induite est une variété de dimension 1 cependant il nest pas homéomorphe à R (puisque S1 est compact ).Une seule carte ne sera donc pas su¢ sante pour créer un atlas. On dénit deux cartes (U1; '1) et (U2; '2) : U1 = S1nf1; 0g '1 : U1 !]0; 2[ (cos ; sin ) 7! et U2 = S1nf1; 0g '2 : U2 !] ; [ (cos ; sin ) 7! il est alors clair que S1 = U1[U2 et que '1 '1 2 est un di¤éomorphisme. Ainsi f(U1; '1); (U2; '2)g est un atlas 3) La sphère Sn Rn+1 est une variété de dimension n: Pour y dénir un atlas on peut utiliser les projection fxi = 0g(2n + 2 cartes )$

4 – Structure de variété différentiable

$Structure de variétés différentielles Défnition 8 Deux Atlas de classe Ck sur une même variété topologique, sont dit compatible si leur réunion est encore un Atlas de classe Ck: La relation de compatibilité ainsi introduite est une relation déquivalence sur lensemble des Atlas de classe Ck: La réunion des éléments dune classe suivant la relation de compatibilité dénit un Atlas maximal au sens de linclusion. Une varité di¤é- rentielle ( ou di¤érentiable ) de classe Ck est une variété topologique M muni dun Atlas de classe Ck maximal. Une variété lisse est une variété di¤érentielle de classe C1: (?? ) Remarque 9 Tout sous ensemble ouvert dune variété di¤érentiable M est lui même une variété di¤érentiable. Sa structure di¤érentable est dénie par la restriction à dun atlas de M; cest à dir par latlas A = fUi\ ; 'i=Ui\ g; où A = f(Ui; 'i)g est un atlas de M: Exemple 10 GLn(R) est une varié en tant que sous variété ouverte de Mn(R) Lemme 11 Soient M et N deux variétés di¤érentiables respectivement de dimensions n et k et datlas f(U ; ' )g et f(V ; )g: Alors M N est une variété de dimension n + k, dont la structure di¤érentiable est dénie par latlas formé de toutes les cartes f(U V ; ' )g où (' )(p; q) = (' (p); (q)) 2 Rn+k Exemple 12 1) Le tor T2 est une variété de dimension 2 et plus généralement le tore Tn est une variété de dimension n ( espace de conguration du bra dun robot ) 2) Le cylindre R Sn est une variété de dimension n + 1$

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