Foncteurs fidèle et pleinement fidèle, équivalence de catégories, foncteur conservatif

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1. Foncteur plein, pleinement fidèle

19-foncteur-plein-pleinement-fidèle : Foncteurs fidèles, pleins Un foncteur F:C→D définit pour tous objets X et Y de C une application F_{X,Y}:Hom_{C}(X,Y)→Hom_{D}(F(X),F(Y)) qui à chaque flèche f:X→Y fait associer la flèche F(f):F(X)→F(Y). <definition/>Soit F:C→D un foncteur. 1- On dit que F est fidèle si F_{X,Y} est injective 2- On dit que F est plein si F_{X,Y} est surjective 3- On dit que F est pleinement fidèle s'il est à la fois fidèle et plein. 4- On dit que F est essentielement surjectif si pour tout objet Y de D il existe un objet X de C tel que F(X)≅Y ie il existe un morphisme f:F(X)→Y qui est bijectif. Un foncteur fidèle n'a pas nécessairement besoin d'être injectif sur les objets ou les morphismes des catégories mises en jeu. Deux objets X et X′ peuvent s'envoyer sur le même objet dans D (c'est la raison pour laquelle l'image d'un foncteur pleinement fidèle n'est pas forcément isomorphe à son domaine), et deux morphismes f : X → Y et f′ : X′ → Y′ peuvent s'envoyer sur le même morphisme dans D. De la même manière, un foncteur plein n'est pas forcément surjectif sur les objets ou sur les morphismes. Il peut y avoir des objets de D qui ne sont pas de la forme FX avec X dans C, et des morphismes entre ces objets ne peuvent alors par être image d'un morphisme de C.

2. Equivalence de catégories

20-equivalence-de-categories : Une équivalence de catégories est un foncteur entre deux catégories, qui prend compte formellement du fait que ces catégories rendent compte d'une même structure : on dit alors que les catégories sont équivalentes. À la différence de la notion d'isomorphisme de catégories, la notion d'équivalence est moins rigide, plus pratique et plus courante. La notion d'équivalence de catégories rend compte, de manière unifiée, de nombreuses dualités observées dans plusieurs pans de l'algèbre et de l'analyse. Une équivalence de catégorie indique que de nombreuses propriétés se conservent d'une catégorie à l'autre au travers du foncteur d'équivalence. En particulier, mais pas exclusivement : les objets initiaux et terminaux, les mono-, épi- et isomorphismes, les limites et colimites, égalisateurs, produits… En particulier, un foncteur qui réalise une équivalence de catégories est exact.

3. Foncteur conservatif

21-foncteurs-conservatifs : Foncteurs conservatifs definition Un foncteur F:C→D est dit conservatif si un morphisme f:X→Y de la catégorie C est un isomorphisme dès que F(f):F(X)→F(Y) l'est i.e (F(f) isomorphisme)⇒f isomorphisme) example Le foncteur oubli Grp dans Ens est conservatif. example Le foncteur F:Grp→Grp G→F(G)=Z(G) et qui à chaque flèche f:G₁→G₂ fait associer F(f)=f_{e}:Z(G₁)→Z(G₂) f_{e}(x)=e ( élément neutre de G₂) est un foncteur qui n'est pas conservatif. Foncteurs conservatifs Trivialement, tout foncteur F : C → D préserve les isomorphismes, c'est-à-dire que si f est un isomorphisme dans C alors F(f) est un isomorphisme dans D. Le foncteur F est dit conservatif si réciproquement, un morphisme f dans C est un isomorphisme dès que F(f) en est un dans D. Exemples. Un morphisme F de monoïdes (cf. fin du § « Exemples » ci-dessus) est conservatif si et seulement si tout antécédent par F d'un élément inversible est inversible. Tout foncteur pleinement fidèle est conservatif. Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est conservatif.

 

Younes Derfoufi
CRMEF OUJDA

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