Éléments de Logique

1 - Propositions mathématiques, fonction propositionnelle

 

Elément de logique  Propositions mathématiques, fonctions propositionnelles  Propositions mathématiques  <definition/>Une proposition mathématique est un énnoncé composé de symbols et de mots, possèdant une valeur de vérité Vraie ou Fausse  <example/>1)  " La leçon de logique fait partie du programme "  c'est une proposition mathématique qu'on peut juger Vraie ou fausse. 2) " Les nombres rationnels sont des nombres réels " C'est une proposition mathématique possédant une valeur de vérité qu'on peut juger vraie. 3) " Les nombres rationnels " Ce n'est pas une proposition mathématique, car elle n'a pas de sens qu'on peut juger vrai ou faux.   Fonction propositionnelle  <definition/>Une fonction propositionnelle est un ennoncé mathématique contenant une ou plusieures variables et qui devient une proposition mathématique chaque qu'on remplace les variables par des valeurs données.  <example/>pour tout x∈ℝ soit P(x):x²≥1 . On voie bien que P(x) devient une proposition mathématique, qu'on peut juger vraie ou fausse, chaque fois qu'on donne une valeur à x. A titre d'exemple P(3), P((3/2)), P(1)... sont des propositions vraies tandis que P(0) P((1/3)) P((1/2)) sont des propositions fausses

2 - Opérations sur les propositions mathématiques

Opérations sur les propositions mathématiques  Négation d'une proposition  <definition/>La négation d'une proposition mathématique P est une proposition mathématique noté non P ou ¬P qui est vraie quand P est fausse et  fausse quand P est vraie :  	<K1.1/>  <K1.1 ilk="TABLE" > P	V	F ¬P	F	V </K1.1>  Conjonction de deux propositions  <definition/>On appelle conjonction de P et  Q la proposition notée P∧Q qui est vraie uniquement si P et  Q  le sont   	<K1.1/>  <K1.1 ilk="TABLE" > P	V	V	F	F Q	V	F	V	F P∧Q	V	F	F	F </K1.1>  Disjonction de deux propositions  <definition/>On appelle disjonction de P et  Q la proposition notée P∨Q ( lire : P ou Q ) qui est vraie si l'une au mois des propositions est vraie   	<K1.1/>  <K1.1 ilk="TABLE" > P	V	V	F	F Q	V	F	V	F P∨Q	V	V	V	F </K1.1>

 

3 - Implications logiques, équivalences logiques

Implications, équivalence logique  Implications  <definition/>Soient P et  Q deux propositions mathématiques, L'implication P⇒Q ( si P alors Q ) est la proposition mathématique ¬P∨Q qui fausse seulement si P est vraie et Q est fausse :  	<K1.1/>  <K1.1 ilk="TABLE" > P	V	V	F	F Q	V	F	V	F P⇒Q	V	F	V	V </K1.1> <definition/>Dans P⇒Q , P s'appelle l'hypothèse et Q la conclusion.  P est une condition suffisante pour Q et Q est une condition nécessaire pour P.  Q⇒P est appelée la réciproque de P⇒Q.  Equivalence logique

Equivalence logique  <definition/>L'équivalence logique de deux propositions mathématiques P et Q est la proposition P⇔Q qui est équivalente à (P⇒Q  et  Q⇒P) et qui est vraie si et seulement si P et Q ont même valeurs de vérité et fausse dans le cas contraire.  	<K1.1/>  <K1.1 ilk="TABLE" > P	V	V	F	F Q	V	F	V	F P⇔Q	V	F	F	V </K1.1>

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