Catégories et sous catégories

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1. Définitions et propriétés d'une catégorie

La théorie des catégories étudie les structures mathématiques et les relations qu'elles entretiennent. Les catégories sont utilisées dans la plupart des branches mathématiques et dans certains secteurs de l'informatique théorique et en mathématiques de la physique. Elles forment une notion unificatrice. Cette théorie a été mise en place par Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane en 1942-1945, en lien avec la topologie algébrique, et propagée dans les années 1960-1970 en France par Alexandre Grothendieck, qui en fit une étude systématique. À la suite des travaux de William Lawvere, la théorie des catégories est utilisée depuis 1969 pour définir la logique et la théorie des ensembles ; elle peut donc, comme cette dernière, être considérée comme fondement des mathématiques.

propriétés des catégories

2. Exemples de Catégories

Exemple de catégories

3. Sous Catégorie

sous catégorie, sous catégorie pleine , Une catégorie \mathcal C, dans le langage de la théorie des classes, est la donnée de quatre éléments : une classe dont les éléments sont appelés objets ; une classe dont les éléments sont appelés morphismes et deux « fonctions » (au sens : classes fonctionnelles) appelées source et but, de la classe des morphismes dans celle des objets ; f : A → B signifie que f est un morphisme « de A dans B »

4. Catégorie duale

categorie-duale : À partir d'une catégorie C, on peut définir une autre catégorie Cop (ou Co), dite opposée ou duale, en prenant les mêmes objets, mais en inversant le sens des flèches. Plus précisément : HomCop(A, B) = HomC(B, A), et la composition de deux flèches opposées est l'opposée de leur composition : fop∘gop = (g∘f)op. Il est clair que la catégorie duale de la catégorie duale est la catégorie de départ : (Cop)op = C. Cette dualisation permet de symétriser la plupart des énoncés.

 

Younes Derfoufi
CRMEF OUJDA

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