1. A propos du cours

1. Auteur : Julien Guillod
2. Type : Polycopié de cours universitaire spécialisé / Guide pratique pour les mathématiques avec Python
3. Langue : Français
4. Licence : Document pédagogique hébergé par l'auteur sur un site académique (CIMIC - Sorbonne Université), accessible librement pour un usage éducatif.

2. Prérequis

1. Bases solides en mathématiques de niveau Licence (algèbre linéaire, analyse, calcul différentiel).
2. Connaissance élémentaire de la programmation (dans n'importe quel langage) ou suivi d'une initiation à Python en parallèle.
3. Une curiosité pour l'expérimentation numérique et la vérification par le calcul.

3. Publique cible

Ce cours vise spécifiquement les étudiants en mathématiques (de la Licence au Master) et les étudiants de physique ou d'ingénierie ayant un fort bagage mathématique. Il s'adresse également aux enseignants de mathématiques et aux chercheurs désireux d'utiliser Python comme un laboratoire numérique pour explorer des conjectures, illustrer des théorèmes ou automatiser des calculs fastidieux.

4. Outils matériels et logiciels

4.1 Outils matériels

1. Un ordinateur permettant l'installation d'un environnement Python scientifique.

4.2 Outils logiciels

1. Une distribution de Python 3 (l'auteur utilise et recommande Anaconda).
2. Les bibliothèques scientifiques essentielles : NumPy, SciPy, Matplotlib, SymPy.
3. Un environnement de type Jupyter Notebook ou JupyterLab, particulièrement adapté à l'exploration interactive et au mélange de code, de formules et de graphiques.

5. Champs d'applications

1. Recherche en Mathématiques : Exploration numérique, vérification d'exemples, visualisation d'objets complexes (fractales, surfaces).
2. Enseignement des Mathématiques : Création de supports interactifs, illustration dynamique de concepts.
3. Physique Mathématique : Résolution numérique d'équations aux dérivées partielles, calculs en mécanique analytique.
4. Préparation aux Métiers de la Data Science : Acquisition des compétences en calcul matriciel et optimisation.
5. Ingénierie Financière : Modélisation stochastique, calculs d'intégrales multiples.

6. Courte description

Ce cours spécialisé enseigne l'utilisation de Python comme un environnement de calcul unifié pour les mathématiques. Il couvre à la fois le calcul numérique avancé (avec NumPy/SciPy), le calcul symbolique (avec SymPy) et la visualisation de haute qualité (avec Matplotlib), en les appliquant à des problèmes concrets d'algèbre, d'analyse, de probabilités et de géométrie.

7. Longue description du cours

Rédigé par Julien Guillod de Sorbonne Université, ce polycopié se distingue par son point de vue résolument mathématique sur la programmation. Python n'y est pas présenté comme un langage généraliste, mais comme une boîte à outils computationnelle permettant d'étendre les capacités de raisonnement et d'investigation du mathématicien.

Philosophie : Le Code comme Extension du Raisonnement

L'approche est celle d'un mathématicien qui code. Le cours montre comment traduire un objet ou un problème mathématique en structures de données Python, puis utiliser les bibliothèques spécialisées pour le manipuler, le résoudre ou le visualiser. L'accent est mis sur la rigueur, la clarté du code et la validation des résultats.

Partie 1 : L'Environnement et les Outils Fondamentaux

Le cours commence par une présentation de l'écosystème, en insistant sur Jupyter Notebook comme environnement idéal pour un travail exploratoire. Il introduit ensuite les piliers du calcul scientifique :

• NumPy pour le calcul numérique vectorisé : création de tableaux, opérations algébriques, algèbre linéaire (numpy.linalg), génération de nombres aléatoires. Des applications directes en algèbre linéaire (diagonalisation, résolution de systèmes) sont présentées.
• Matplotlib pour la visualisation scientifique : Le cours va au-delà des courbes simples pour aborder les tracés en 2D et 3D de qualité publication, les histogrammes, les diagrammes de dispersion et la personnalisation fine des graphiques.

Partie 2 : Le Calcul Symbolique avec SymPy

C'est une caractéristique marquante de ce cours. Le module SymPy permet de manipuler des expressions mathématiques de manière exacte, comme le ferait un logiciel de calcul formel :

• Définition de symboles et d'expressions symboliques.
• Simplification, développement et factorisation d'expressions algébriques.
• Calcul de dérivées et d'intégrales de manière formelle.
• Résolution symbolique d'équations et de systèmes d'équations.
• Calcul de limites et de séries de Taylor.
• Algèbre linéaire symbolique : manipulation de matrices avec des éléments symboliques, calcul de déterminant, de valeurs propres.

Cette partie permet de générer des expressions exactes qui peuvent ensuite être évaluées numériquement avec une précision arbitraire, ou servir de point de départ à un calcul numérique.

Partie 3 : Méthodes Numériques Avancées avec SciPy

Le cours explore ensuite les algorithmes numériques sophistiqués fournis par SciPy :

• Optimisation : Recherche de minima/maxima locaux ou globaux de fonctions (scipy.optimize.minimize), avec ou sans contraintes.
• Intégration numérique : Calcul d'intégrales simples, doubles ou triples, y compris avec des bornes infinies ou des singularités (scipy.integrate.quad, dblquad).
• Interpolation : Construction de fonctions passant par des points donnés (splines cubiques) pour l'approximation de données.
• Résolution d'Équations Différentielles Ordinaires (EDO) : Utilisation des solveurs de scipy.integrate.solve_ivp pour modéliser des systèmes dynamiques.
• Traitement du Signal : Introduction aux transformées de Fourier discrètes (scipy.fft).

Partie 4 : Applications Mathématiques Concrètes

La théorie est constamment reliée à la pratique par des exemples et des projets miniatures :

• Probabilités et Statistiques : Simulation de lois de probabilité (génération de variables aléatoires), estimation par méthode de Monte-Carlo (pour calculer π ou une intégrale), tests statistiques simples.
• Géométrie et Visualisation 3D : Tracé de surfaces définies par des équations paramétriques ou implicites, visualisation de champs vectoriels.
• Analyse Complexe : Calcul et visualisation de fonctions holomorphes, transformations conformes.
• Algèbre Linéaire Numérique : Décomposition en valeurs singulières (SVD), résolution de problèmes aux moindres carrés, analyse en composantes principales (PCA) à partir de zéro.
• Introduction aux EDP : Résolution numérique de l'équation de la chaleur en 1D par la méthode des différences finies, illustrant le passage du continu au discret.

Pédagogie et Bonnes Pratiques pour la Recherche

Le cours inculque des pratiques essentielles pour un travail numérique fiable en recherche :

• Validation et Vérification : Comment vérifier qu'un résultat numérique est plausible (comparaison avec un cas limite connu, test de conservation, estimation d'erreur).
• Reproductibilité : Importance de structurer son code et ses notebooks pour que les calculs puissent être refaits et vérifiés.
• Performance : Conseils pour éviter les boucles Python lentes en profitant au maximum de la vectorisation NumPy.

En définitive, ce polycopié est une porte d'entrée exigeante et enrichissante vers le monde du calcul scientifique pour mathématiciens. Il démontre que Python, bien maîtrisé, peut devenir un partenaire de raisonnement à part entière, permettant d'explorer, de conjecturer et de valider avec une puissance et une agilité inédites.

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