1. A propos du cours

1. Auteur : Matthieu Lerasle
2. Type : Notes de cours universitaires (91 pages, PDF)
3. Langue : Français
4. Licence : Non spécifiée – usage pédagogique

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2. Courte description du cours

Ces notes exhaustives d’algèbre linéaire couvrent les espaces vectoriels, les matrices, les déterminants, la réduction des endomorphismes, l’orthogonalité et la méthode des moindres carrés. Riche en exemples et exercices, le cours constitue un support complet pour étudiants de licence scientifique.

3. Longue description du cours

Présentation générale. Rédigées pour les étudiants de l’ENSAE et de l’École Polytechnique, ces 91 pages structurent l’algèbre linéaire en six chapitres progressifs : bases de la théorie, déterminants, réduction, orthogonalité et optimisation quadratique. Chaque chapitre allie rigueur théorique, intuition géométrique et entraînement pratique grâce à plus de 120 exercices corrigés ou guidés.:contentReference[oaicite:1]{index=1}

Chapitre 1 – Introduction. Après une courte mise en perspective historique, l’auteur rappelle l’objectif du cours : fournir les outils linéaires indispensables à la statistique, à l’économie quantitative et au machine learning. Les définitions sont volontairement motivées par des problèmes concrets : résolution de systèmes, projection de données et diagonalisation de matrices.:contentReference[oaicite:2]{index=2}

Chapitre 2 – Les bases de l’algèbre linéaire. On y définit l’espace vectoriel sur un corps, les sous-espaces, les familles libres et génératrices, avant de prouver l’existence de bases et de présenter le théorème du rang. Un soin particulier est porté aux applications linéaires : noyau, image, théorème du rang, changements de base et matrices associées. Les exemples détaillent aussi bien les suites réelles que les espaces de polynômes, afin de démultiplier les points d’entrée conceptuels.:contentReference[oaicite:3]{index=3}

Chapitre 3 – Déterminants. L’auteur retrace l’origine du concept, puis construit le déterminant à partir de ses trois propriétés fondamentales : alternance, multilinéarité et normalisation. La section s’achève sur la règle de Cramer, l’invariance par transposition et le lien précieux entre déterminant, rang et inversibilité, clef pour la théorie des systèmes linéaires et de l’analyse numérique.:contentReference[oaicite:4]{index=4}

Chapitre 4 – Réduction des endomorphismes. L’ouvrage traite en profondeur la diagonalisabilité, la triangularisation, le polynôme minimal et le théorème de Hamilton-Cayley. Des encadrés pédagogiques montrent comment ces résultats accélèrent le calcul de puissances de matrices et la résolution de systèmes différentiels linéaires, ouvrant la voie à la modélisation dynamique.:contentReference[oaicite:5]{index=5}

Chapitre 5 – Orthogonalité. Ici sont détaillés les produits scalaires, les bases orthonormées, les projections, les isomorphismes E ≅ E^* et les endomorphismes auto-adjoints. Les applications vont de la géométrie euclidienne classique à la mise en forme des données pour l’apprentissage supervisé, en insistant sur la notion de Gram matrix et les symétries de Householder utilisées dans les algorithmes de factorisation QR.:contentReference[oaicite:6]{index=6}

Chapitre 6 – Problème des moindres carrés et décompositions matricielles. La dernière partie généralise l’orthogonalité à l’optimisation : équations normales, factorisation QR, valeurs singulières et pseudo-inverse de Moore-Penrose. Chaque section relie l’algèbre linéaire à la statistique : régression linéaire, filtrage, réduction de dimension et robustesse numérique. Les démonstrations alternent arguments algébriques et interprétations géométriques, consolidant l’intuition des étudiants.:contentReference[oaicite:7]{index=7}

Structure pédagogique. Toutes les définitions importantes sont regroupées dans des encarts gris, tandis que les théorèmes sont systématiquement suivis d’exemples concrets (matrices de permutation, matrices de réflexion ou projecteurs). Une large place est réservée aux exercices d’application immédiate et aux problèmes de synthèse : calculs de déterminants exotiques, étude complète d’une application linéaire ou factorisation LU, garantissant une appropriation active du contenu.

Public et pré-requis. Destinées aux étudiants de Licence 2/3 ou de classes préparatoires scientifiques, les notes supposent seulement un semestre de calcul différentiel et un goût pour la formalisation. L’ensemble peut aussi servir de référence rapide à un data scientist souhaitant revoir la théorie avant d’implémenter des modèles de régression ou de factorisation matricielle.

Atouts du document. – Richesse des exemples ; – Progression logique (de la théorie abstraite vers les applications) ; – Autonomie du lecteur grâce aux corrections et aux rappels de méthodes. Enfin, la mise en page aérée, les marges réservées aux remarques et la numérotation fine des résultats rendent la consultation rapide et efficace.

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