Chapitre 1 – Groupes : les premières notions

1. Groupes et sous-groupes

1.1 Notion de groupe

Un groupe est un ensemble non vide G, muni d’une loi de composition interne notée multiplicativement (ou parfois additivement) :
$\cdot : G \times G \rightarrow G$ , telle que :

Associativité : Pour tout $a, b, c \in G$ , on a $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ .
Élément neutre : Il existe un élément $e \in G$ tel que pour tout $a \in G$ , $e \cdot a = a \cdot e = a$ .
Symétrique : Pour tout $a \in G$ , il existe $a^{-1} \in G$ tel que $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$ .

On note souvent un groupe par le couple $(G, \cdot)$ . Si la loi est commutative, c’est-à-dire $a \cdot b = b \cdot a$ , on dit que le groupe est abélien.

1.2 Sous-groupe

Soit $(G, \cdot)$ un groupe. Un sous-ensemble $H \subset G$ est un sous-groupe de $G$ si $H$ est un groupe pour la loi induite de $G$ , c’est-à-dire :

Pour tout $a, b \in H$ , $a \cdot b \in H$ (stabilité).
Pour tout $a \in H$ , $a^{-1} \in H$ .
$e \in H$ , où $e$ est l’élément neutre de $G$ .

1.3 Cas particulier des groupes finis

Un groupe $G$ est dit fini s’il contient un nombre fini d’éléments. Ce nombre est appelé ordre du groupe, noté $|G|$ .

Exemples :

Le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ est un groupe abélien fini d’ordre $n$ .
Le groupe des permutations $S_n$ est un groupe fini non abélien d’ordre $n!$ .

2. Groupes monogènes, groupes cycliques

2.1 Sous-groupe engendré par un élément

Soit $G$ un groupe et $a \in G$ . Le sous-groupe engendré par $a$ , noté $\langle a \rangle$ , est l'ensemble des puissances de $a$ (ou des entiers multiples si la loi est additive) :

Si la loi est multiplicative : $\langle a \rangle = \{ a^n \mid n \in \mathbb{Z} \}$
Si la loi est additive : $\langle a \rangle = \{ n a \mid n \in \mathbb{Z} \}$

$\langle a \rangle$ est un sous-groupe de $G$ .

2.2 Groupes monogènes, groupes cycliques

Un groupe est dit monogène ou cyclique s’il existe un élément $a \in G$ tel que $G = \langle a \rangle$ . Dans ce cas, on dit que $a$ est un générateur de $G$ .

Exemples :

Le groupe $(\mathbb{Z}, +)$ est cyclique engendré par $1$ .
Le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ est cyclique, engendré par $1$ .

2.3 Générateurs d’un groupe cyclique

Soit $G = \langle a \rangle$ un groupe cyclique d’ordre $n$ . Les éléments $a^k$ tels que $\gcd(k, n) = 1$ sont aussi des générateurs de $G$ .

Il y a exactement $\varphi(n)$ générateurs de $G$ , où $\varphi$ est la fonction indicatrice d’Euler.

2.4 Groupes finis d’ordre premier

Tout groupe fini d’ordre premier $p$ est cyclique. Autrement dit, tout groupe $G$ tel que $|G| = p$ , avec $p$ premier, est isomorphe à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ .

En effet, tout élément non neutre $a \in G$ engendre tout le groupe : $G = \langle a \rangle$ .

3. Morphismes de groupes

3.1 Notion de morphisme de groupes

Soient $(G, \cdot)$ et $(G', \ast)$ deux groupes. Une application $f : G \rightarrow G'$ est appelée un morphisme de groupes si pour tous $a, b \in G$ , on a :

$f(a \cdot b) = f(a) \ast f(b)$

Un morphisme de groupes respecte donc la structure de groupe.

3.2 Image et noyau

Image : L’image de $f$ est $\mathrm{Im}(f) = \{ f(a) \mid a \in G \} \subset G'$ .
Noyau : Le noyau de $f$ est $\ker(f) = \{ a \in G \mid f(a) = e' \}$ , où $e'$ est l’élément neutre de $G'$ .

Le noyau est toujours un sous-groupe de $G$ , et il est normal.

3.3 Isomorphismes de groupes

Un morphisme $f : G \rightarrow G'$ est un isomorphisme s’il est bijectif. Dans ce cas, $G$ et $G'$ sont dits isomorphes, et on note :

$G \cong G'$

Deux groupes isomorphes ont la même structure algébrique.

3.4 Automorphismes de groupes

Un automorphisme d’un groupe $G$ est un isomorphisme de $G$ dans lui-même :
$f : G \rightarrow G$ bijectif et tel que $f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b)$ .

L’ensemble des automorphismes de $G$ , noté $\mathrm{Aut}(G)$ , forme un groupe pour la composition des applications.

3.5 Automorphismes intérieurs et centre

Pour tout $a \in G$ , l'application $\varphi_a : G \rightarrow G$ définie par $\varphi_a(x) = a x a^{-1}$ est appelée un automorphisme intérieur.

L’ensemble des automorphismes intérieurs est un sous-groupe de $\mathrm{Aut}(G)$ , noté $\mathrm{Int}(G)$ .

Le centre de $G$ , noté $Z(G)$ , est l’ensemble des éléments de $G$ qui commutent avec tous les éléments de $G$ :

$Z(G) = \{ z \in G \mid \forall g \in G, \ zg = gz \}$

Plus le centre est grand, plus le groupe est proche d’être abélien.

Post Views: 42

Acheter sur Très Facile !