1. A propos du cours

1. Auteur : Julie Déserti
2. Type : Notes de cours universitaires (Licence 3, 43 pages, PDF)
3. Langue : Français
4. Licence : Non spécifiée – usage pédagogique

:contentReference[oaicite:0]{index=0}

2. Courte description du cours

Ces notes abordent les anneaux et les corps : définitions, exemples, anneaux euclidiens et principaux, polynômes, idéaux et factorisation. Illustrées d’exercices, elles forment la base algébrique pour l’arithmétique, la géométrie algébrique et la cryptographie (≈ 230 caractères).

3. Longue description du cours

Présentation générale. Le polycopié « Anneaux et corps » correspond au second volet du cours « Groupes et applications » dispensé en troisième année de licence de mathématiques. Sur 43 pages structurées en trois chapitres, il construit pas à pas la théorie des anneaux commutatifs unitaires et introduit la notion de corps, prérequis indispensable pour la poursuite en algèbre moderne. :contentReference[oaicite:1]{index=1}

Chapitre 1 – Anneaux et corps, premiers pas. Après un rappel des groupes, l’auteure définit l’anneau comme un groupe abélien muni d’une multiplication associative distributive et unitaire. Exemples classiques (Z, Q, R, C, polynômes R[X], Z[X]) et contre-exemples soulignent l’importance de chaque axiome. Les notions de sous-anneau, d’élément inversible et de groupe multiplicatif A^* sont détaillées, ouvrant sur la définition du corps comme anneau dont tout élément non nul est inversible. :contentReference[oaicite:2]{index=2}

Chapitre 2 – Polynômes. Cette section traite des anneaux de polynômes à une indéterminée sur un anneau A et montre comment leurs propriétés héritent de A. La division euclidienne, le concept de degré, la dérivée formelle et les critères d’irréductibilité (Gauss, Eisenstein) sont présentés, avec des exemples concrets sur ℤ[X] et ℚ[X].

Chapitre 3 – Anneaux principaux et euclidiens. On y démontre qu’un anneau euclidien est principal, puis que tout anneau principal est factoriel. Des cas emblématiques (ℤ, ℤ[i], ℤ[√2], ℤₚ[X]) illustrent la factorisation unique et le calcul d’idéaux. Un développement conséquent est consacré aux entiers de Gauss, aux entiers quadratiques ℤ[√d] et à leur norme, préparant le terrain pour les corpus théoriques de la théorie algébrique des nombres. :contentReference[oaicite:3]{index=3}

Méthodologie et pédagogie. Chaque définition est suivie d’exemples et de mini-exercices (énoncés dans la marge) pour encourager l’auto-évaluation. Les démonstrations adoptent la stratégie « idée clé → preuve détaillée », et les tableaux récapitulatifs soulignent les analogies entre anneaux et groupes. Un soin particulier est accordé à la typographie mathématique : environnement théorème/lemme, encadrés gris pour les points techniques, et mises en évidence des résultats essentiels.

Applications et prolongements. Les dernières pages esquissent des horizons – cryptographie basée sur ℤ/nℤ, corps finis ℤₚ et codes correcteurs, géométrie algébrique via spectres d’anneaux. Des pistes bibliographiques (Atiyah–Macdonald, Dummit & Foote) permettent d’approfondir.

Public cible. Étudiants de L3, classes préparatoires MP/MP*, ou autodidactes cherchant une transition vers l’algèbre commutative avancée. Avec son style direct et ses exemples concrets, ce support constitue un tremplin vers l’arithmétique algébrique, la théorie de Galois et la cryptanalyse moderne.

Voir ou télécharger le document sur le site d’origine