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1 – Topologie initiale

 

Topologie initiale et finale, topologie limite inductive Topologie initiale <definition/>Soient X un ensemble non vide et (X_{i})_{i∈I} une famille d'espaces topologiques, et f_{i}:X→X_{i} une famille d'applications. La topologie initiale de (X,(f_{i})_{i∈I}) est la moin fine rendant continue les applications f_{i}. <example/>Si X=Π_{i∈I}X_{i} alors la topologie produit sur X n'est autre que la topologie initiale associée à la famille des projections p_{i}:X→X_{i}. <example/>Soient X un ensemble et Y un espace topologique et Y^{X} l'ensemble des applications de X dans Y. Pour tout x∈X notons ev_{x} l'application d'évaluation ev_{x}:Y^{X}→Y f↦ev_{x}(f)=f(x). Alors la topologie de la convergence simple sur Y^{X} n'est autre que la topologie initiale associé à (Y^{X},(ev_{x})_{x∈X}) <proposition/>La topologie initiale de (X,(f_{i})_{i∈I}) est la topologie engendrée par les ensembles {f_{i}⁻¹(O_{i}),i∈I,O_{i} ouvert de X_{i}} <proposition/>Soit Y un espace topologique et τ la topologie initiale assoiée à la famille (X,(f_{i})_{i∈I}). Une application f:Y→(X,τ) est continue si et seulement si f_{i}∘f est continue pour tout i∈I. Continuer la lecture

1 – Généralités sur les applications

Applications Généralités sur les applications Dans tout ce paragraphe E et F designe deux ensembles non vides. <definition/>On appelle application de E dans F toute relation f:E→F liant tout x de E avec un et un seul élément y de F. et on écrit y=f(x) et on dit que y est l'image de x par l'application f et que x est l'antécédant de y. [application.png] <definition/>On dit que deux applications f:E→F et g:E′→F′ sont égales si E=E′ et F=F′ et ∀x∈E=E′ f(x)=g(x)

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1 – Notions d’ensembles

Ensembles et applications Théorie des ensembles Notion d'ensemble <definition/>Un ensemble est une collection d'objets. Les objets qui forment l'ensemble sont appelés les éléments de cet ensemble. <example/>{1,2}, {(1/2),-7,13,((-2)/7)}, {voiture, moto, train} sont des ensembles. 1 et 2 sont des éléments de l'ensemble {1,2} et on écrit 1∈{1,2} ( lire 1 appartient à E) et 9∉{1,2} ( lire 9 n'appartient pas à {1,2}) <definition/>L'ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l'ensemble vide et est noté . <definition/>On dit qu'un ensemble A est un sous ensemble ou une partie de E si tout élément de A est un élément de E, et on note A⊂E <example/>A={3,-11} est une partie de E={1,3,8,-11,37}

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Cours de mathématiques  seconde (https://fr.wikiversity.org)

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1 – Propositions mathématiques, fonction propositionnelle

 

Elément de logique  Propositions mathématiques, fonctions propositionnelles  Propositions mathématiques  <definition/>Une proposition mathématique est un énnoncé composé de symbols et de mots, possèdant une valeur de vérité Vraie ou Fausse  <example/>1)  " La leçon de logique fait partie du programme "  c'est une proposition mathématique qu'on peut juger Vraie ou fausse. 2) " Les nombres rationnels sont des nombres réels " C'est une proposition mathématique possédant une valeur de vérité qu'on peut juger vraie. 3) " Les nombres rationnels " Ce n'est pas une proposition mathématique, car elle n'a pas de sens qu'on peut juger vrai ou faux.   Fonction propositionnelle  <definition/>Une fonction propositionnelle est un ennoncé mathématique contenant une ou plusieures variables et qui devient une proposition mathématique chaque qu'on remplace les variables par des valeurs données.  <example/>pour tout x∈ℝ soit P(x):x²≥1 . On voie bien que P(x) devient une proposition mathématique, qu'on peut juger vraie ou fausse, chaque fois qu'on donne une valeur à x. A titre d'exemple P(3), P((3/2)), P(1)... sont des propositions vraies tandis que P(0) P((1/3)) P((1/2)) sont des propositions fausses Continuer la lecture

1 – Format de papier Latex

Le langage Latex offre différents formats de papier   A4, A5, A6….

Le format A4     Le format A4 est égal à 21 × 29,7 cm. C’est un format standard ou normalisé qui tient une place très importante dans la fabrication de nombreux produits d’impression. En effet, il est particulièrement adapté à la création ou à l’impression de produits standards tels que la brochure, l’affiche, le livre, le calendrier, le catalogue, le menu de restaurant, etc.  Pour certains produits standards comme le flyer et le dépliant, le format A4 constitue un grand format qui permet de véhiculer une grande quantité d’informations.Pour spécifier le format de papier Latex on ajoute l’option a4paper, a5paper … à la commande documentclass{} Continuer la lecture