Les relations et les applications

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1 - Généralités sur les applications

Applications Généralités sur les applications Dans tout ce paragraphe E et F designe deux ensembles non vides. <definition/>On appelle application de E dans F toute relation f:E→F liant tout x de E avec un et un seul élément y de F. et on écrit y=f(x) et on dit que y est l'image de x par l'application f et que x est l'antécédant de y. [application.png] <definition/>On dit que deux applications f:E→F et g:E′→F′ sont égales si E=E′ et F=F′ et ∀x∈E=E′ f(x)=g(x)

 

2 - Applications injectives, surjectives et bijectives

 

Application injective, surjective, bijective <definition/>On dit qu'une application f:E→F est injective si : <K1.1/> <K1.1 ilk="TABLE" > ∀(x,x′)∈E² x≠x′⇒f(x)≠f(x′) </K1.1> (Cela veux dire que deux éléments différents ont des images différentes ) <example/> f:ℝ→ℝ x↦3x et g:ℝ→ℝ x↦x² f est injective car x≠x′⇒3x≠3x′ tandis que g ne l'est pas puisque 1≠-1 mais on a f(1)=f(-1) <remark/>( f:E→F est injective )⇔∀(x,x′)∈E² f(x)=f(x′)⇒x=x′ ( contraposée de l'implication utilisée dans la définition précédente) <definition/>On dit qu'une application f:E→F est surjective si tout élément de F admet un antécédant dans E. Autrement dit : <K1.1/> <K1.1 ilk="TABLE" > ∀y∈F ∃x∈E/y=f(x) </K1.1> <example/> f:ℝ→ℝ x↦3x f est surjective <example/> g:ℝ→ℝ x↦x² g n'est pas surjective car si on prend y=-1 il n'existe aucun x∈ℝ verifiant -1=f(x) c.a.d -1=x²

<definition/>Une application f:E→F est dite bijective ou une bijection de E vers F si elle est injective et surjective. <K1.1/> <K1.2/> <K1.1 ilk="TABLE" > f est bijective ⇔( f est bijective et surjective ) </K1.1> <K1.2 ilk="TABLE" > f est bijective ⇔{<K2.1/>) </K1.2> <K2.1 ilk="MATRIX" > 1) ∀(x,x′)∈E² f(x)=f(x′)⇒x=x′ 2) ∀y∈F ∃x∈E/y=f(x) </K2.1> <proposition/>Soit f:E→F une application alors : <K1.1/> <K1.1 ilk="TABLE" > f est bijective⇔∀y∈F ∃!x∈E/y=f(x) </K1.1>

 

3-Restriction et prolongement d'une application

 

Restriction et prolongement d'une application <definition/>Soient E,F et G 3 ensembles tels que G⊂E et f:E→F une application. Toute application g:G→F vérifiant : <K1.1/> <K1.1 ilk="TABLE" > ∀x∈G, f(x)=g(x) </K1.1> est appelé une restriction de f à G. f est alors appelé le prolongement de g à E.

 4 - Applications composées

 

Application composée <definition/>Soient E,F et G 3 ensembles non vides et f:E→F et g:F→G deux applications, la composée de f et g est l'application noté g∘f:E→G définie par g∘f(x)=g[f(x)]

5 - Image directe et réciproque d'une partie

 

Image directe et réciproque d'une partie <definition/>Soit f:E→F une application et A⊂E et B⊂F 1) On appelle image directe de A le sous ensemble noté f(A) de F definie par f(A)={f(x)/x∈A}={y∈F ∃x∈A / y=f(x)} 2) On appelle image réciproque de B le sous ensemble noté f⁻¹(B) de E definie par f⁻¹(B)={x∈A/f(x)∈B} A l'aide des quantificateurs : <K1.1/> <K1.1 ilk="TABLE" > ∀y∈F y∈f(A)⇔∃x∈A y=f(x) ∀x∈E x∈ f⁻¹(B)⇔f(x)∈B </K1.1> <remark/>f⁻¹(B)= n'entraine pas que B= <proposition/>Soit f:E→F une application et A et B deux parties de E alors : 1) f(A∪B)=f(A)∪f(B) 2) A⊂B⇒f(A)⊂f(B) 3) f(A∩B)⊂f(A)∩f(B) <proposition/>Soit f:E→F une application et A′ et B′ deux parties de F alors : 1) f⁻¹(A′∪B′)=f⁻¹(A′)∪f⁻¹(B′) 2) A′⊂B′⇒f(A′)⊂f(B′) 3) f⁻¹(A′∩B′)⊂f⁻¹(A′)∩f⁻¹(B′)

 

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