Éléments de Logique

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1 - Propositions mathématiques, fonction propositionnelle

 

Elément de logique Propositions mathématiques, fonctions propositionnelles Propositions mathématiques <definition/>Une proposition mathématique est un énnoncé composé de symbols et de mots, possèdant une valeur de vérité Vraie ou Fausse <example/>1) " La leçon de logique fait partie du programme " c'est une proposition mathématique qu'on peut juger Vraie ou fausse. 2) " Les nombres rationnels sont des nombres réels " C'est une proposition mathématique possédant une valeur de vérité qu'on peut juger vraie. 3) " Les nombres rationnels " Ce n'est pas une proposition mathématique, car elle n'a pas de sens qu'on peut juger vrai ou faux. Fonction propositionnelle <definition/>Une fonction propositionnelle est un ennoncé mathématique contenant une ou plusieures variables et qui devient une proposition mathématique chaque qu'on remplace les variables par des valeurs données. <example/>pour tout x∈ℝ soit P(x):x²≥1 . On voie bien que P(x) devient une proposition mathématique, qu'on peut juger vraie ou fausse, chaque fois qu'on donne une valeur à x. A titre d'exemple P(3), P((3/2)), P(1)... sont des propositions vraies tandis que P(0) P((1/3)) P((1/2)) sont des propositions fausses

2 - Opérations sur les propositions mathématiques

Opérations sur les propositions mathématiques Négation d'une proposition <definition/>La négation d'une proposition mathématique P est une proposition mathématique noté non P ou ¬P qui est vraie quand P est fausse et fausse quand P est vraie : <K1.1/> <K1.1 ilk="TABLE" > P V F ¬P F V </K1.1> Conjonction de deux propositions <definition/>On appelle conjonction de P et Q la proposition notée P∧Q qui est vraie uniquement si P et Q le sont <K1.1/> <K1.1 ilk="TABLE" > P V V F F Q V F V F P∧Q V F F F </K1.1> Disjonction de deux propositions <definition/>On appelle disjonction de P et Q la proposition notée P∨Q ( lire : P ou Q ) qui est vraie si l'une au mois des propositions est vraie <K1.1/> <K1.1 ilk="TABLE" > P V V F F Q V F V F P∨Q V V V F </K1.1>

 

3 - Implications logiques, équivalences logiques

Implications, équivalence logique Implications <definition/>Soient P et Q deux propositions mathématiques, L'implication P⇒Q ( si P alors Q ) est la proposition mathématique ¬P∨Q qui fausse seulement si P est vraie et Q est fausse : <K1.1/> <K1.1 ilk="TABLE" > P V V F F Q V F V F P⇒Q V F V V </K1.1> <definition/>Dans P⇒Q , P s'appelle l'hypothèse et Q la conclusion. P est une condition suffisante pour Q et Q est une condition nécessaire pour P. Q⇒P est appelée la réciproque de P⇒Q. Equivalence logique

Equivalence logique <definition/>L'équivalence logique de deux propositions mathématiques P et Q est la proposition P⇔Q qui est équivalente à (P⇒Q et Q⇒P) et qui est vraie si et seulement si P et Q ont même valeurs de vérité et fausse dans le cas contraire. <K1.1/> <K1.1 ilk="TABLE" > P V V F F Q V F V F P⇔Q V F F V </K1.1>

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