Produit et somme directe dans une catégorie

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1. Produit direct dans une catégorie

La somme est la propriété duale du produit : la somme correspond au produit de la catégorie opposée. On dit parfois coproduit plutôt que somme. On utilise parfois les notions de catégorie distributive (en) et de catégorie linéaire pour désigner deux types de catégories fréquentes, mais mutuellement exclusives (sauf cas trivaux, comme des catégories à un seul objet): une catégorie est distributive lorsque le produit est distributif sur le coproduit. Ce dernier est alors souvent appelé somme, par analogie avec l'arithmétique élémentaire ; Soit C une catégorie et (X_i)_{i\in I} une famille d'objets de C. On cherche un objet X ainsi qu'une famille de morphismes \phi_i : X_i\to X tel que pour tout objet Y de C et pour toute famille de morphismes f_i : X_i\to Y, il existe un unique morphisme f:X\to Y tel que pour tout indice i, on a f\circ\phi_i =f_i. Si un tel objet X existe, on l'appelle somme des (X_i)_{i\in I}. Lorsqu'elle existe, la somme des Xi représente le foncteur qui à un objet Y de C associe le produit cartésien \prod_{i\in I}Hom(X_i,Y).

1. Somme directe dans une catégorie

somme-directe-dans-une-catégorie : Soit C une catégorie et (X_i)_{i\in I} une famille d'objets de C. On cherche un objet X ainsi qu'une famille de morphismes \phi_i : X_i\to X tel que pour tout objet Y de C et pour toute famille de morphismes f_i : X_i\to Y, il existe un unique morphisme f:X\to Y tel que pour tout indice i, on a f\circ\phi_i =f_i. Si un tel objet X existe, on l'appelle somme des (X_i)_{i\in I}. Lorsqu'elle existe, la somme des Xi représente le foncteur qui à un objet Y de C associe le produit cartésien \prod_{i\in I}Hom(X_i,Y).

1. Exemple de sommes et produits direct dans une catégorie

exemple-de-somme-et-produit-direct-dans-une-categorie : La somme indexée par l'ensemble vide est l'objet initial. Dans la catégorie des ensembles, la somme est la réunion disjointe. La réunion disjointe de la famille (X_i)_{i\in I} est l'ensemble des couples (i,x) où x\in X_i avec \varphi_i : x \mapsto (i,x). Dans la catégorie des espaces topologiques, la somme topologique existe et commute avec le foncteur d'oubli. Elle s'obtient en munissant l'ensemble ci-dessus d'une topologie adéquate. Dans la catégorie des groupes, la somme s'appelle produit libre. Elle ne commute pas avec le foncteur d'oubli. Dans la catégorie des modules sur un anneau fixé, la somme est la somme directe externe. Elle ne commute pas avec le foncteur d'oubli. On peut raffiner la notion de somme avec la somme amalgamée.

 

Younes Derfoufi
CRMEF OUJDA

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