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1 – Topologie initiale

 

Topologie initiale et finale, topologie limite inductive Topologie initiale <definition/>Soient X un ensemble non vide et (X_{i})_{i∈I} une famille d'espaces topologiques, et f_{i}:X→X_{i} une famille d'applications. La topologie initiale de (X,(f_{i})_{i∈I}) est la moin fine rendant continue les applications f_{i}. <example/>Si X=Π_{i∈I}X_{i} alors la topologie produit sur X n'est autre que la topologie initiale associée à la famille des projections p_{i}:X→X_{i}. <example/>Soient X un ensemble et Y un espace topologique et Y^{X} l'ensemble des applications de X dans Y. Pour tout x∈X notons ev_{x} l'application d'évaluation ev_{x}:Y^{X}→Y f↦ev_{x}(f)=f(x). Alors la topologie de la convergence simple sur Y^{X} n'est autre que la topologie initiale associé à (Y^{X},(ev_{x})_{x∈X}) <proposition/>La topologie initiale de (X,(f_{i})_{i∈I}) est la topologie engendrée par les ensembles {f_{i}⁻¹(O_{i}),i∈I,O_{i} ouvert de X_{i}} <proposition/>Soit Y un espace topologique et τ la topologie initiale assoiée à la famille (X,(f_{i})_{i∈I}). Une application f:Y→(X,τ) est continue si et seulement si f_{i}∘f est continue pour tout i∈I.

2-topologie-initiale-associee-a-une-famille-dapplications

 

2 – Topologie Finale

 

Topologie finale  <definition/>Soient X un ensemble non vide et (Y_{i})_{i∈I} une famille d'espaces topologiques, et f_{i}:Y_{i}→X une famille d'applications. La topologie finale de (X,(f_{i})_{i∈I}) est la plus fine sur X rendant continue les applications f_{i}:Y_{i}→X.  <proposition/>Sous les mêmes hypothèses que la définition précédente, la topologie finale de (X,(f_{i})_{i∈I}) est constituée des parties O⊂X pour les quelles f_{i}⁻¹(O) soit un ouvert de Y_{i} pour tout i∈I.  <example/>Soit X un espace topologique et  ∼  une relation d'équivalence sur X alors la topologie quotient définie sur X/∼ n'est autre que la topologie finale associée à la surjection canonique π:X→X/∼ <example/>Soit (E_{i})_{i∈I} une famille d'espaces topologiques, on definit alors une nouvelle topologie sur l'union disjointe ⊔E_{i} dont les ouverts sont les réuinions disjointes  ⊔O_{i}  ( les O_{i} sont des ouverts de E_{i}). L'espace topologique ainsi obtenu est appellé somme topologique des E_{i}. La topologie somme définie sur ⊔E_{i} n'est autre que la topologie finale associée aux injections canoniques E_{i}→⊔E_{i}  x↦(x,i).

 

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