Espace tangent, fibré tangent

1 - Espace tangent

Espace tangent      Soit M une variété différentiable de dim=n et de classe C¹, pour tout point m∈M considérons l'ensemble C(M,m) formé des courbes de classe C^{p}  c:I→M (I intervalle ouvert de centre 0) telles que : c(0)=m.  <definition/>On dit que deux courbes c₁ et  c₂ de C(M,m) sont tangente en m s'il existe une carte (U,ϕ) en m telles que :  	(ϕ∘c₁)′(0)=(ϕ∘c₂)′(0)

La relation c₁  et  c₂ sont tangentes en m est une relation d'équivalence sur C(M,m).  <definition/>Une classe d'équivalence selon la relation d'équivalence définie ci-dessus est appelé un vecteur tangent à M au point m. L'espace quotient associé à cette relation est appelé l'espace tangent à la variété M au point m, noté T_{m}M.  <remark/>L'application θ_{ϕ}:T_{m}M→ℝⁿ  c↦θ_{ϕ}(c)=(ϕ∘c)′(0) est bijective, ce qui permet de définir une structure d'espace vectoriel sur T_{m}M en posant pour tous c₁, c₂, c ∈T_{m}M et pour tous λ∈ℝ:  c₁+c₂=θ_{ϕ}⁻¹[(θ_{ϕ}c₁)+θ_{ϕ}(c₂)]  et  λc=θ_{ϕ}⁻¹(λθ_{ϕ}(c)) <remark/>1- L'espace tangent T_{m}M ne change pas si on remplace l'atlas initiale par un autre atlas équivalent. 2- Si U est ouvert de M contenant m alors T_{m}U=T_{m}M. 3- T_{(m,n)}(M×N)=T_{m}M⊕T_{n}N

 

2 - Fibré tangent

Fibré tangent  <definition/>L'union disjointe  ⊔T_{m}M= {(m,u)/m∈M et u∈T_{m}M}  des espaces tangents est appelé le fibré tangent      Soient maintenant M et  N deux variétés différentiable de dimension m et  n avec des atlas (U_{i}ϕ_{i})_{i∈I} et  (U_{j}′ϕ_{j}′)_{j∈J}  et soit f:M→N une application de classe C¹(ie pour tout x∈M et pour tout U_{i} contenant x et U_{j}′ contenant f(x) l'application ϕ_{j}′∘f∘ϕ_{i}⁻¹ est de classe C¹)  <proposition-def/>l'application C(M,m)→C(N,f(m)) c↦f∘c passe au quotient en une application T_{m}f:T_{m}M→T_{f(m)}N nommée différentielle de f au point m ( ou application linéaire tangente de f au point m). Si deplus (U,ϕ) est une carte en m et (V,ψ) est une carte en f(m) alors pour tout u∈T_{m} on a :  	T_{m}f(u)=θ_{ψ}⁻¹∘d_{ϕ(m)}(ψ∘f∘ϕ⁻¹)∘θ_{ϕ}(u):=d_{m}f(u)  En plus le diagramme suivant est commutatif :

 

3- Différentielle d'une application

La différentielle de f est l'application df:TM→TN définie par :  	df_{x}(X)  = ψ_{j}^{′-1}∘d(ϕ_{j}′∘f∘ϕ_{i}⁻¹)_{ϕ_{i}(x)}∘ψ_{i}⁻¹(X)  	pour tout x  ∈ M et X∈T_{x}M, U_{i} contenant x et U_{j}′ contenant f(x)  - En particulier si f est à valeurs réelle on a df_{x}(X)=d(f∘ϕ_{i}⁻¹)_{ϕ_{i}(x)}∘ψ_{i}⁻¹(X)  - En particulier si f est à variables réelles on a : df_{x}(X)=ψ_{j}^{′-1}∘d(ϕ_{j}′∘f)_{x}(X)

4 - Fibré vectoriel tangent

Etant donné une carte ϕ:U→V⊂ℝⁿ le fibré tangeant à U est le sous ensemble T(U)={(a,u)/a∈U et u∈T_{a}M}⊂T(M) et on a une bijection :  	<K1.1/>  <K1.1 ilk="MATRIX" > T(ϕ):	T(U)→T(V)=V×ℝⁿ 	(a,c)↦(ϕ(a),(ϕ∘c)′(0) </K1.1>  <conclusion/>La projection canonique p:T(M)→M définie par p(a,u)=p pour (a,u)∈TM ( ie  a∈M  et  u∈T_{a}M ) est un fibré vectoriel de rang n.  <proof/>Soit a∈M il exite alors une carte (U,ϕ) en a d'après la remarque précédente φ=(ϕ⁻¹×Id_{ℝⁿ})∘T(ϕ):p⁻¹(U)=T(U)→U×ℝⁿ est un homéomorphisme.

 

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