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Archives mensuelles : décembre 2015

1. Foncteur plein, pleinement fidèle

19-foncteur-plein-pleinement-fidèle : Foncteurs fidèles, pleins Un foncteur F:C→D définit pour tous objets X et Y de C une application F_{X,Y}:Hom_{C}(X,Y)→Hom_{D}(F(X),F(Y)) qui à chaque flèche f:X→Y fait associer la flèche F(f):F(X)→F(Y). <definition/>Soit F:C→D un foncteur. 1- On dit que F est fidèle si F_{X,Y} est injective 2- On dit que F est plein si F_{X,Y} est surjective 3- On dit que F est pleinement fidèle s'il est à la fois fidèle et plein. 4- On dit que F est essentielement surjectif si pour tout objet Y de D il existe un objet X de C tel que F(X)≅Y ie il existe un morphisme f:F(X)→Y qui est bijectif. Un foncteur fidèle n'a pas nécessairement besoin d'être injectif sur les objets ou les morphismes des catégories mises en jeu. Deux objets X et X′ peuvent s'envoyer sur le même objet dans D (c'est la raison pour laquelle l'image d'un foncteur pleinement fidèle n'est pas forcément isomorphe à son domaine), et deux morphismes f : X → Y et f′ : X′ → Y′ peuvent s'envoyer sur le même morphisme dans D. De la même manière, un foncteur plein n'est pas forcément surjectif sur les objets ou sur les morphismes. Il peut y avoir des objets de D qui ne sont pas de la forme FX avec X dans C, et des morphismes entre ces objets ne peuvent alors par être image d'un morphisme de C.

2. Equivalence de catégories

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1. Transformation naturelle entre deux foncteurs

16-transformation naturelle entre deux foncteurs : En théorie des catégories, une transformation naturelle permet de transformer un foncteur en un autre tout en respectant la structure interne (i.e. la composition des morphismes) des catégories considérées. On peut ainsi la voir comme un morphisme de foncteurs. Définition Soient C et D deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de C dans D. Une transformation naturelle η de F vers G est la donnée, pour tout objet X de C, d'un morphisme de D : \eta_X : F(X) \rightarrow G(X), telle que pour tous objets X et Y de C et tout morphisme f de X dans Y, le diagramme suivant soit commutatif : Natural transformation.svg On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus. Si pour tout objet X de C, ηX est un isomorphisme, on dit que η est une « équivalence naturelle » ou un « isomorphisme naturel ».

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1. Définition d’un  Foncteur

25-définition-d-un-foncteur : Un foncteur (ou foncteur covariant) F : C → D d'une catégorie C dans une catégorie D est la donnée d'une fonction qui, à tout objet X de C, associe un objet F(X) de D, d'une fonction qui, à tout morphisme f : X → Y de C, associe un morphisme F(f) : F(X) → F(Y) de D, qui respectent les identités : pour tout objet X de C,F(\mathrm{Id}_A)=\mathrm {Id}_{F(A)}, respectent la composition : pour tous objets X, Y et Z et morphismes f : X → Y et g : Y → Z de C,F(g\circ f)=F(g)\circ F(f). Un foncteur contravariant G d'une catégorie C dans une catégorie D est un foncteur covariant de la catégorie opposée Cop dans D. À tout morphisme f : X → Y de C, il associe donc un morphisme G(f) : G(Y) → G(X) de D, et l'on a la « relation de compatibilité » G(g ∘ f) = G(f) ∘ G(g). Continuer la lecture

1. Egalisateur ( equalizer)

22-egalisateur-equalizer : Let X and Y be sets. Let f and g be functions, both from X to Y. Then the equaliser of f and g is the set of elements x of X such that f(x) equals g(x) in Y. Symbolically: \mathrm{Eq}(f,g) := \{x \in X \mid f(x) = g(x)\}\mbox{.}\! The equaliser may be denoted Eq(f,g) or a variation on that theme (such as with lowercase letters "eq"). In informal contexts, the notation {f = g} is common. The definition above used two functions f and g, but there is no need to restrict to only two functions, or even to only finitely many functions. In general, if F is a set of functions from X to Y, then the equaliser of the members of F is the set of elements x of X such that, given any two members f and g of F, f(x) equals g(x) in Y. Symbolically: \mathrm{Eq}(\mathcal{F}) := \{x \in X \mid \forall{f,g \,}{\in}\, \mathcal{F}, \; f(x) = g(x)\}\mbox{.}\! This equaliser may be written as Eq(f,g,h,...) if \mathcal{F} is the set {f,g,h,...}. In the latter case, one may also find {f = g = h = ···} in informal contexts.

2. Coégalisateur ( coequalizer )

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1. Exemples et définition d’un pullback

16-pullback : In category theory, a branch of mathematics, a pullback (also called a fiber product, fibre product, fibered product or Cartesian square) is the limit of a diagram consisting of two morphisms f : X → Z and g : Y → Z with a common codomain; it is the limit of the cospan X→ Z ← Y. The pullback is often written P = X ×Z Y. The categorical dual of a pullback is a called a pushout. Remarks opposite to the above apply: the pushout is a coproduct with additional structure. Continuer la lecture